Исчисления высказываний классической логики. Гуров С.И. - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

H
S Ex(T )
T
T S
T
Ex(T ) S
H
H
I
A `
I
A
`
I
¬ A
H
2
¬ A
A
A ¬ A H
T
H
0
H
A
H A
3. Ìåòàòåîðèÿ ÈÂ H                                               71


Îïðåäåëåíèå 2.7. Îòíîñèòåëüíî ñâîéñòâà S âûðàæåíèé Ex(T ) ôîð-
ìàëüíàÿ òåîðèÿ T íàçûâàåòñÿ
   ˆ êîððåêòíîé , åñëè âñå òåîðåìû T îáëàäàþò ñâîéñòâîì S ;
   ˆ ïîëíîé , åñëè òåîðåìàìè T ÿâëÿþòñÿ òå è òîëüêî òå âûðàæåíèÿ
     èç Ex(T ), êîòîðûå îáëàäàþò ñâîéñòâîì S .
  Êîððåêòíîñòü è ñåìàíòè÷åñêàÿ ïîëíîòà H îáåñïå÷èâàþò ïîëíîòó
È H îòíîñèòåëüíî ñâîéñòâà åãî ôîðìóë ¾áûòü òàâòîëîãèåé¿.

3.3 Ðàçëè÷íûå âèäû äåäóêòèâíîé ïîëíîòû è ðàçðåøèìîñòü

   Íåïðîòèâîðå÷èâîå ôîðìàëüíîå èñ÷èñëåíèå I íàçûâàþò àáñîëþòíî
ïîëíûì , åñëè äëÿ ëþáîé ôîðìóëû A èìååò ìåñòî ëèáî `I A, ëèáî
`I ¬ A .
   Ðàçóìååòñÿ, H íå îáëàäàåò àáñîëþòíîé ïîëíîòîé: â C2 ñóùåñòâó-
þò íåéòðàëüíûå ôîðìóëû (íàïðèìåð, âñå àòîìàðíûå). Îòðèöàíèå ¬ A
íåéòðàëüíîé ôîðìóëû A òàêæå åñòü íåéòðàëüíàÿ ôîðìóëà. Â ñèëó
êîððåêòíîñòè, íè A, íè ¬ A íå ÿâëÿþòñÿ òåîðåìàìè èñ÷èñëåíèÿ H .
   Ìíîæåñòâà òåîðåì àáñîëþòíî ïîëíûõ ôîðìàëüíûõ òåîðèé íàçûâà-
þò ïîëíûìè ìíîæåñòâàìè (ôîðìóë). ¾Ïîëíîå ìíîæåñòâî ïîäîáíî ìè-
ðîâîççðåíèþ ÷åëîâåêà, äîñòèãøåãî ïðåäåëà óìñòâåííîãî ðàçâèòèÿ: íà
âñ¼, ÷òî âõîäèò â êðóã åãî ïîíÿòèé, îí èìååò ñâîþ òî÷êó çðåíèÿ¿ [2].
 ñëó÷àå îòñóòñòâèÿ àáñîëþòíîé ïîëíîòû ãîâîðÿò, ÷òî ñðåäñòâ òåîðèè
íåäîñòàòî÷íî äëÿ òîãî, ÷òîáû äîêàçàòü èëè îïðîâåðãíóòü ëþáîå óòâåð-
æäåíèå, ñôîðìóëèðîâàííîå íà ÿçûêå ýòîé òåîðèè. Àáñîëþòíàÿ ïîëíîòà
è îïðåäåëÿåìàÿ íèæå ïîëíîòà ïî Ïîñòó îòíîñÿòñÿ ê ñâîéñòâàì äåäóê-
òèâíîé ïîëíîòû ôîðìàëüíûõ òåîðèé â îòëè÷èå îò ðàññìîòðåííîé ðà-
íåå ñåìàíòè÷åñêîé ïîëíîòû.
Îïðåäåëåíèå 2.8. Íåïðîòèâîðå÷èâàÿ ôîðìàëüíàÿ òåîðèÿ T íàçûâà-
åòñÿ ïîëíîé ïî Ïîñòó, åñëè äîáàâëåíèå ê å¼ àêñèîìàì ëþáîãî íåäîêà-
çóåìîãî â íåé âûðàæåíèÿ ïðèâîäèò ê ïðîòèâîðå÷èâîé òåîðèè.
   Çàìåòèì, ÷òî äîáàâëåíèå íåêîòîðîãî âûðàæåíèÿ ê ñïèñêó àêñèîì
ïîçâîëÿåò ïðîèçâîäèòü â í¼ì ïîäñòàíîâêè ïî ïðàâèëó Subst. Ïîýòîìó
èíîãäà ãîâîðÿò, ÷òî äàííîå âûðàæåíèå äîáàâëÿåòñÿ ê àêñèîìàì êàê
ñõåìà.
Òåîðåìà 2.8.    Èñ÷èñëåíèå H ïîëíî ïî Ïîñòó.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü 0H A.  ñèëó ñåìàíòè÷åñêîé ïîëíîòû ÈÂ
H , A íå ÿâëÿåòñÿ òàâòîëîãèåé. Òîãäà â ñîîòâåòñòâèè ñ ëåììîé 1.1, â
ðåçóëüòàòå ïîäñòàíîâîê íåêîòîðûõ ôîðìóë âìåñòî ïðîïîçèöèîíàëüíûõ

Страницы