Исчисления высказываний классической логики. Гуров С.И. - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

H
{0, 1, . . . , n − 1} m 1 6 m < n − 1
{0, 1, . . . , n − 1} n, m
n
{0, 1, . . . , n − 1}
A
A
A A
A
A1
A2 A3
¬
Ax(H)
A1
¬
¡
¢
¬ A A
¡
¢
B
1 0 0 0 0
1 1 1 2 0
0 2 2 0 0
0 2 1
1 2 1
2 0 1
0 2 2
1 0 2
2 0 2
A2 A3
¡
¢
A2 A3
3. Ìåòàòåîðèÿ ÈÂ H                                                 73


{0, 1, . . . , n − 1}, èç êîòîðûõ ïåðâûå m, 1 6 m < n − 1 íàçûâàþò
âûäåëåííûìè . Çàòåì ñîñòàâëÿþò èñòèííîñòíûå òàáëèöû äëÿ ïðèìè-
òèâíûõ ëîãè÷åñêèõ ñâÿçîê èñ÷èñëåíèÿ, â êîòîðûõ ôèãóðèðóþò çíà÷å-
íèÿ {0, 1, . . . , n − 1}. ×èñëà n, m è óêàçàííûå èñòèííîñòíûå òàáëèöû
çàäàþò êîíêðåòíóþ n-çíà÷íóþ ëîãèêó.
    Ïðè èíòåðïðåòàöèè â ìíîãîçíà÷íîé ëîãèêå äàííîé ôîðìóëû å¼ ïðî-
ïîçèöèîíàëüíûì ïåðåìåííûì ïðèïèñûâàþò òå èëè èíûå çíà÷åíèÿ èç
{0, 1, . . . , n − 1}. Åñëè ïðè âñåõ èíòåðïðåòàöèÿõ íåêîòîðàÿ ôîðìóëà
ïðèíèìàåò òîëüêî âûäåëåííûå çíà÷åíèÿ, òî îíà íàçûâàåòñÿ âûäåëåí-
íîé .
    Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íåçàâèñèìîñòè ñõåìû àêñèîì A èñòèííîñòíûå
òàáëèöû äëÿ ïðèìèòèâíûõ ëîãè÷åñêèõ ñâÿçîê ñîñòàâëÿþò òàê, ÷òîáû
âñå ñõåìû, êðîìå A, îêàçàëàñü âûäåëåííûìè. Åñëè ïðè ýòîì ïðåäóñìîò-
ðåòü ñîõðàíåíèå âûäåëåííîñòè ïðè ïðèìåíåíèè ïðàâèë âûâîäà, áóäåò
îáåñïå÷åíà âûäåëåííîñòü âñåõ òåîðåì, ïîëó÷åííûõ áåç èñïîëüçîâàíèÿ
A. Óêàçàíèåì êîíêðåòíîé àêñèîìû äàííîé ñõåìû A íå ÿâëÿþùåéñÿ
âûäåëåííîé çàâåðøàåòñÿ äîêàçàòåëüñòâî íåçàâèñèìîñòè ñõåìû A.
    Ðàññìîòðåííûì ìåòîäîì áóäåò äîêàçàíà íåçàâèñèìîñòü ñõåì A1 è
A2. Òàê æå ìîæíî áûëî áû äîêàçàòü è íåçàâèñèìîñòü A3. Îäíàêî íåçà-
âèñèìîñòü ýòîé ñõåìû, êàê åäèíñòâåííîé èñïîëüçóþùåé ñâÿçêó ¬, áó-
äåò ïðîäåìîíñòðèðîâàíà áåç îáðàùåíèÿ ê ìíîãîçíà÷íîé ëîãèêå, ñ èñ-
ïîëüçîâàíèåì ñïåöèàëüíîãî ïðè¼ìà.

Òåîðåìà 2.9. Ëþáàÿ èõ ñõåì àêñèîì Ax(H) íåçàâèñèìà.
Äîêàçàòåëüñòâî. Íåçàâèñèìîñòü A1. Ðàññìîòðèì òð¼õçíà÷íóþ ëî-
ãèêó ñ åäèíñòâåííûì âûäåëåííûì çíà÷åíèåì 0 è ñëåäóþùèìè òàáëè-
                           ¡
öàìè èñòèííîñòè äëÿ ¬ è ¢.
                                        ¡¢
             ¬ A                  A        B
             1 0                  0    0   0
             1 1                  1    2   0
             0 2                  2    0   0
                                  0    2   1
                                  1    2   1
                                  2    0   1
                                  0    2   2
                                  1    0   2
                                  2    0   2
   Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî âñÿêàÿ àêñèîìà, ïîëó÷åííàÿ ïî ñõåìàì
                                                               ¡
A2A3 áóäåò âûäåëåííîé. Ïåðâàÿ ñòðîêà â òàáëèöå èñòèííîñòè äëÿ ¢
îáåñïå÷èâàåò âûäåëåííîå çíà÷åíèå ñëåäñòâèé, ïîëó÷àåìûõ ïî MP ïðè
âûäåëåííûõ ïîñûëêàõ. Ñëåäîâàòåëüíî âûäåëåííîé áóäåò ëþáàÿ òåîðå-
ìà, ïîëó÷åííàÿ èç A2A3 ñ ïîìîùüþ MP.

Страницы