Исчисления высказываний классической логики. Гуров С.И. - 74 стр.

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МГУ | Москва

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x
¡
¢
(y
¡
¢
x)
A1
x = 1, y = 2 A1
A2 A3
A2
¬
¡
¢
¬ A A
¡
¢
B
1 0 0 0 0
0 1 1 0 0
1 2 2 0 0
0 2 1
1 2 1
2 0 1
0 1 2
1 0 2
2 0 2
A1 A3
(x
¡
¢
(y
¡
¢
z))
¡
¢
((x
¡
¢
y)
¡
¢
(x
¡
¢
z))
A2
x = y = 0, z = 1
A2 A1 A3
A3 E(A)
A E(A) = A
A1 A2
E(A
¡
¢
B) = E(A)
¡
¢
E(B)
E(B) E(A) E(A
¡
¢
B)
A A1 A2
E(A)
B = (¬ x
¡
¢
¬ x)
¡
¢
((¬ x
¡
¢
x)
¡
¢
x)
A3 E(B) = (x
¡
¢
x)
¡
¢
((x
¡
¢
x)
¡
¢
x)
B
A1 A2 ¤
H
0
H
1
H
2
74          Ãëàâà 2. Èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé. Ãèëüáåðòîâñêèå ÈÂ

                                      ¡     ¡
   Ðàññìîòðèì òåïåðü ôîðìóëó x ¢ (y ¢ x), ÿâëÿþùàÿñÿ ÷àñòíûì
ñëó÷àåì ñõåìû A1. Îíà íå ÿâëÿåòñÿ âûäåëåííîé , ò.ê. ïðèíèìàåò çíà÷å-
íèå 2 ïðè x = 1, y = 2. Ïîýòîìó è ñõåìû A1 íå ìîæåò áûòü âûâåäåíà
èç ñõåì A2A3.
   Íåçàâèñèìîñòü A2. Ðàññìîòðèì åù¼ îäíó òð¼õçíà÷íóþ ëîãèêó ñ
åäèíñòâåííûì âûäåëåííûì çíà÷åíèåì 0 è ñëåäóþùèìè òàáëèöàìè èñ-
                    ¡
òèííîñòè äëÿ ¬ è ¢.
                                          ¡¢
             ¬ A                    A          B
             1 0                    0   0      0
             0 1                    1   0      0
             1 2                    2   0      0
                                    0   2      1
                                    1   2      1
                                    2   0      1
                                    0   1      2
                                    1   0      2
                                    2   0      2
   Êàê è â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå, âñÿêàÿ àêñèîìà, ïîëó÷åííàÿ èç ñõåì
A1 è A3 áóäåò âûäåëåííîé, òàêæå êàê è ëþáàÿ òåîðåìà, ïîëó÷åííàÿ
                                    ¡   ¡        ¡   ¡      ¡ ¡
èç íèõ ñ ïîìîùüþ MP. Ôîðìóëà (x ¢(y ¢ z)) ¢ ((x ¢ y) ¢(x ¢ z)), ÿâ-
ëÿþùàÿñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ñõåìû A2, âûäåëåííîé íå ÿâëÿåòñÿ, ò.ê.
ïðèíèìàåò çíà÷åíèå 2, êîãäà x = y = 0, z = 1, ÷òî è äîêàçûâàåò íåçà-
âèñèìîñòü A2 îò A1 è A3.
   Íåçàâèñèìîñòü A3. Ââåä¼ì îïåðàòîð E(A), êîòîðûé ñòèðàåò âñå
âõîæäåíèÿ çíàêà îòðèöàíèÿ â ôîðìóëó A. ßñíî, ÷òî E(A) = A äëÿ
âñåõ ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ ñõåì A1 è A2.
                    ¡            ¡
   Ïîñêîëüêó E(A ¢ B) = E(A) ¢ E(B), òî ïîëó÷åííàÿ ïî ïðàâèëó MP
                                                        ¡
ôîðìóëà E(B) áóäåò òàâòîëîãèåé, åñëè E(A) è E(A ¢ B)  òàâòîëî-
ãèè. Ñëåäîâàòåëüíî, ëþáàÿ ôîðìóëà A, âûâîäèìàÿ èç ñõåì A1 è A2
ïî MP, èìååò â êà÷åñòâå E(A) òàâòîëîãèþ.
                                    ¡        ¡     ¡      ¡
   Ðàññìîòðèì ôîðìóëó B = (¬ x ¢ ¬ x) ¢ ((¬ x ¢ x) ¢ x), ÿâëÿþùó-
                                                     ¡¢     ¡   ¡ ¡
þñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ñõåìû A3. Îäíàêî E(B) = (x x) ¢((x ¢ x) ¢ x)
òàâòîëîãèåé íå ÿâëÿåòñÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ôîðìóëà B íåâûâîäèìà èç
A1 è A2 ïî MP.                                                     ¤




4 Èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé H 0 è H1
   Êðîìå ÈÂ H , ñóùåñòâóþò ìíîãî äðóãèõ ýêâèâàëåíòíûõ ôîðìàëè-
çàöèé C2 . Íèæå ìû ðàññìîòðèì íåêîòîðûå èç íèõ.

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