Исчисления высказываний классической логики. Гуров С.И. - 75 стр.

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МГУ | Москва

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H
0
H
1
H
0
H
1
H
0
L(H) H
H
0
A
0
1 p
¡
¢
(q
¡
¢
p)
A
0
2 (p
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¢
(q
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¢
r))
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¢
((p
¡
¢
q)
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¢
(p
¡
¢
r))
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3 (¬ q
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¢
¬ p)
¡
¢
((¬ q
¡
¢
p)
¡
¢
q)
H
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[H] = [H
0
] H
H
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H
H
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H
1
H H
0
H
1
L
1
¬
¡
¢
∨ N
H
1
2
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(¬ A) (A
¡
¢
B) (A∨B) (A N B) A B
≡
L(H
1
)
2
H
1
H
H
1
A
1
1 A
¡
¢
(B
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¢
A)
A
1
2 (A
¡
¢
B)
¡
¢
((A
¡
¢
(B
¡
¢
C))
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¢
(A
¡
¢
C))
A
1
3 A N B
¡
¢
A
A
1
4 A N B
¡
¢
B
A
1
5 (A
¡
¢
B)
¡
¢
((A
¡
¢
C)
¡
¢
(A
¡
¢
B N C))
4. ÈÂ H 0 è H1                                                  75


4.1 Îïèñàíèå ÈÂ H 0 è H1

Èñ÷èñëåíèå H 0         èñïîëüçóåò ÿçûê L(H) èñ÷èñëåíèÿ H . Îòëè÷èå
èñ÷èñëåíèé ñîñòîèò â òîì, ÷òî â H 0 âìåñòî ñõåì àêñèîì èñïîëüçóþòñÿ
êîíêðåòíûå àêñèîìû:
               ¡     ¡
      A0 1. p ¢ (q ¢ p) ;
                ¡     ¡      ¡    ¡   ¡   ¡
      A0 2. (p ¢ (q ¢ r)) ¢ ((p ¢ q) ¢ (p ¢ r)) ;
       0          ¡¢      ¡¢     ¡¢  ¡¢
      A 3. (¬ q ¬ p) ((¬ q p) q) .
   Êðîìå MP â H 0 èìååòñÿ ïðàâèëî ïîäñòàíîâêè Subst (ñì. ñ. 57).
Ïîä÷åðêí¼ì, ÷òî ïðàâèëî Subst ïðèìåíÿåòñÿ òîëüêî ê òåîðåìàì äàí-
íîãî èñ÷èñëåíèÿ.
   Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî [H] = [H 0 ] è âñå ñâîéñòâà H ïåðåíîñÿòñÿ
íà H 0 . È H áîëåå ñîãëàñóåòñÿ ñ îáû÷íûì ìàòåìàòè÷åñêèì ÿçûêîì
(â ëþáîì ñëó÷àå ïðàâèëà âûâîäà ñóòü ñõåìû, èñïîëüçóþùèå ìåòàñèì-
âîëû), à H 0  áîëåå êîíñòðóêòèâíî, ïîñêîëüêó â í¼ì âûâîäÿòñÿ íå
ñõåìû, à ñðàçó êîíêðåòíûå ôîðìóëû.
   Ïîíÿòíî, ÷òî âñå ëîãè÷åñêèå èñ÷èñëåíèÿ, èñïîëüçóþùèå àêñèîìíûå
ñõåìû, ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû â âèäå èñ÷èñëåíèé ñ êîíêðåòíûìè
àêñèîìàìè è äîïîëíèòåëüíûì ïðàâèëîì Subst.

Èñ÷èñëåíèå H1 . ßçûê, èñïîëüçóåìûé â èñ÷èñëåíèÿõ H è H 0 ,
î÷åíü áåäåí, âñëåäñòâèå ÷åãî âûâîäû â ýòèõ èñ÷èñëåíèÿõ ìàëîåñòå-
ñòâåííû è ñëèøêîì äëèíû äàæå î÷åíü ïðîñòûõ òåîðåì.
   Èñïîëüçóåìûé â èñ÷èñëåíèè H1 ÿçûê L1 âêëþ÷àåò â ñåáÿ ïðèìè-
                               ¡
òèâíûå ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè ¬, ¢, ∨ è N .  ñâÿçè ñ ýòèì ïóíêò 2) â
îïðåäåëåíèè 2.1 äëÿ H1 çàìåíÿåòñÿ íà
                     ¡
      21 ) (¬ A), (A ¢ B), (A∨B) è (A N B), åñëè A è B  ôîðìóëû.
Ñâÿçêà ≡ ââîäèòñÿ êàê ñîêðàùåíèå ïî D3 (ñì. c. 49). Ìû âèäèì, ÷òî
ÿçûê L(H1 ) ñ ó÷¼òîì ñîêðàùåíèÿ D3 ñîâïàäàåò ñ ÿçûêîì ëîãèêè C2 .
Òàêæå áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ òåìè æå ìåòàëèíãâèñòè÷åñêèìè îáîçíà÷å-
íèÿìè äëÿ ôîðìóë â H1 , ÷òî è â H .
   Àêñèîìû èñ÷èñëåíèÿ H1 çàäàþòñÿ ñëåäóþùèìè ñõåìàìè, îïèñû-
âàþùèìè ñâîéñòâà, êîòîðûìè ìû íàäåëÿåì ïðèìèòèâíûå ëîãè÷åñêèå
ñâÿçêè:
               ¡       ¡
      A1 1. A ¢ (B ¢ A) ;
                ¡¢       ¡ ¡    ¡     ¡  ¡
      A1 2. (A B) ¢ ((A ¢(B ¢ C)) ¢(A ¢ C)) ;
                    ¡¢
      A1 3. A N B A ;
                     ¡
      A1 4. A N B ¢ B ;
                 ¡¢      ¡ ¡    ¡   ¡
      A1 5. (A B) ¢ ((A ¢ C) ¢(A ¢ B N C)) ;

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