Исчисления высказываний классической логики. Гуров С.И. - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

A
1
6 A
¡
¢
A ∨ B
A
1
7 B
¡
¢
A ∨ B
A
1
8 (A
¡
¢
C)
¡
¢
((B
¡
¢
C)
¡
¢
(A ∨ B
¡
¢
C))
A
1
9 (A
¡
¢
¬ B)
¡
¢
(B
¡
¢
¬ A)
A
1
10 ¬¬ A
¡
¢
A
H
1
H
1
H
ϕ L(H
1
)
H
1
{ , }
|A
0
|
ϕ
∈ { , } ,
|¬ A|
ϕ
= ¬|A|
ϕ
, |A
¡
¢
B|
ϕ
= |A|
ϕ
¡
¢
|B|
ϕ
,
|A N B|
ϕ
= |A|
ϕ
N |B|
ϕ
, |A ∨ B|
ϕ
= |A|
ϕ
∨ |B|
ϕ
|A|
ϕ
ϕ(A)
H
1
H
1
H H
1
[H] = [H
1
] H
A
1
2 A
1
10 ∨ N ≡
H
1
A2
A3
H H
1
H
1
`
H
1
A
¡
¢
A
H
A2 A
1
2
Γ, ∆ . . . H
1
H
1
N Γ, A, B ` A N B ;
76            Ãëàâà 2. Èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé. Ãèëüáåðòîâñêèå ÈÂ

                 ¡
        A1 6. A ¢ A ∨ B ;
                 ¡
        A1 7. B ¢ A ∨ B ;
                  ¡     ¡         ¡¢       ¡    ¡
        A1 8. (A ¢ C) ¢ ((B          C) ¢(A ∨ B ¢ C)) ;
                  ¡¢      ¡          ¡¢
        A1 9. (A ¬ B) ¢ (B              ¬ A) ;
                     ¡¢
        A1 10. ¬¬ A A .
   H1 èìååò åäèíñòâåííîå ïðàâèëî âûâîäà  MP. Ïîíÿòèÿ âûâîäà,
òåîðåìû, âûâîäèìîñòè èç ñîâîêóïíîñòè ãèïîòåç è ò.ä. â H1 îáùèå ñ
H.
   Èíòåðïðåòàöèÿ ϕ ÿçûêà L(H1 ) åñòü îòîáðàæåíèå ìíîæåñòâà ôîð-
ìóë H1 â { 1, 0 }, óäîâëåòâîðÿþùàÿ ïðàâèëàì
            |A0 |ϕ ∈ { 1, 0 } ,
                                                ¡            ¡
           |¬ A|ϕ = ¬|A|ϕ ,                |A ¢ B|ϕ = |A|ϕ ¢ |B|ϕ ,
         |A N B|ϕ = |A|ϕ N |B|ϕ ,            |A ∨ B|ϕ = |A|ϕ ∨ |B|ϕ
(êàê îáû÷íî, ïèøåì |A|ϕ âìåñòî ϕ(A) ). Ýòè ïðàâèëà îçíà÷àþò ïî-
íèìàíèå ëîãè÷åñêèõ ñâÿçîê ïðè èíòåðïðåòàöèè êàê ñèìâîëîâ ñîîòâåò-
ñòâóþùèõ áóëåâûõ ôóíêöèé.

4.2 Ñâîéñòâà ÈÂ H1

    Ñëåäñòâèåì îáùíîñòè ïîíÿòèé, ñâÿçàííûõ ñ âûâîäîì, âûâîäèìîñòü
â H1 îáëàäàåò îñíîâíûìè ñâîéñòâàìè, óêàçàííûìè â ï. 2.2, à ñëåäîâà-
òåëüíî äîïóñòèìû è ïðàâèëà âûâîäà, ïðèâåä¼ííûå â ýòîì ïóíêòå äàëåå.
    Èñ÷èñëåíèÿ H è H1 ÿâëÿþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè ôîðìàëèçàöèÿìè,
ò.å. [H] = [H1 ]. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî ôàêòà ìîæíî áûëî áû â H
âûâåñòè ñõåìû A1 2A1 10, ïîíèìàÿ çíàêè ∨, N è ≡ êàê ñîêðàùåíèÿ
ñîîòâåòñòâóþùèõ âûðàæåíèé ïî D1D3, à â H1  âûâåñòè ñõåìû A2 è
A3. Ìû, îäíàêî, íå áóäåì äåëàòü ýòîãî, à ñîâïàäåíèå ìíîæåñòâ òåîðåì,
âûâîäèìûõ â H è H1 áóäåò ñëåäîâàòü èç ðåçóëüòàòîâ, äîêàçûâàåìûõ
íèæå.
                                   ¡
     ÈÑ H1 ñïðàâåäëèâû `H1 A ¢ A, ïðàâèëî ñàìîäîñòàòî÷íîñòè ãè-
ïîòåçû, ïðàâèëî ñå÷åíèÿ è òåîðåìà î äåäóêöèè. Äîêàçàòåëüñòâî DT
ïðîõîäèò àíàëîãè÷íî ïðîâåä¼ííîìó â È H ñ ó÷¼òîì çàìåíû ñõåìû
A2 íà A1 2 ñ ñîîòâåòñòâóþùåé ïîäñòàíîâêîé.
    Êàê âñåãäà ïîä Γ, ∆ . . . â H1 ïîäðàçóìåâàþòñÿ íàáîðû ôîðìóë
(âîçìîæíî ïóñòûå).
Ëåììà 2.4. Â H1 ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå âûâîäèìîñòè (ïðîèçâîäíûå
ïðàâèëà).
     ââåäåíèå N : Γ, A, B ` A N B ;

Страницы