Исчисления высказываний классической логики. Гуров С.И. - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

H
1
Γ
Γ
H
1
Γ
A
0
Γ B
Γ ` A
0
Γ ` ¬ A
0
Γ, ¬ B ` A
0
Γ, ¬ B ` ¬ A
0
Γ ` ¬¬ B ¬
¬¬ B ` B ¬¬
Γ ` B
A
0
¬ A
0
¤
H
1
H
'
Γ ` A ≡ B ⇔ Γ, A ` B Γ, B ` A .
Γ, A ` B
Γ ` A
¡
¢
B
Γ, B ` A
Γ ` B
¡
¢
A
Γ, A
¡
¢
B, B
¡
¢
A ` (A
¡
¢
B) N (B
¡
¢
A) N
Γ ` (A
¡
¢
B) N (B
¡
¢
A)
Γ ` A ≡ B Γ, A ` B Γ, B ` A
Γ ` (A
¡
¢
B) N (B
¡
¢
A)
78           Ãëàâà 2. Èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé. Ãèëüáåðòîâñêèå ÈÂ


   Îïðåäåëåíèå ïðîòèâîðå÷èâîñòè íàáîðà ôîðìóë (2.3) ñîõðàíÿåòñÿ
äëÿ H1 . Ñïðàâåäëèâà
Òåîðåìà 2.10. Ìíîæåñòâî ôîðìóë Γ íåïðîòèâîðå÷èâî, åñëè è òîëü-
êî åñëè ñóùåñòâóåò ôîðìóëà, íåâûâîäèìàÿ â ÈÂ èç Γ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü. Ïîêàæåì, ÷òî èç ïðîòèâîðå÷èâîãî
íàáîðà ôîðìóë â H1 ìîæåò áûòü âûâåäåíà ëþáàÿ ôîðìóëà. Ïóñòü Γ 
ïðîòèâîðå÷èâûé íàáîð ôîðìóë, ò.å. ñóùåñòâóåò ôîðìóëà A0 âûâîäè-
ìàÿ âìåñòå ñî ñâîèì îòðèöàíèåì èç Γ è B  ëþáàÿ ôîðìóëà.
(1)   Γ ` A0     ïðåäïîëîæåíèå
(2)   Γ ` ¬ A0     ïðåäïîëîæåíèå
(3)   Γ, ¬ B ` A0     äîáàâëåíèå ãèïîòåçû (1)
(4)   Γ, ¬ B ` ¬ A0    äîáàâëåíèå ãèïîòåçû (2)
(5)   Γ ` ¬¬ B     ââåäåíèå ¬ èç (3) è (4)
(6)   ¬¬ B ` B      óäàëåíèå ¬¬
(7)   Γ ` B     ïî Cut èç (5) è (6)

   Äîñòàòî÷íîñòü. Åñëè èç íåïðîòèâîðå÷èâîãî íàáîðà ôîðìóë âûâî-
äèìà ôîðìóëà A0 (òàêîâàÿ âñåãäà ñóùåñòâóåò), òî ïî îïðåäåëåíèþ, èç
íåãî íå ìîæåò áûòü âûâåäåíà ôîðìóëà ¬ A0 .                       ¤

  Â H1 òàê æå, êàê è â H îïðåäåëÿþò îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè
' íà ìíîæåñòâå ôîðìóë. Ñïðàâåäëèâà
Òåîðåìà 2.11.
               Γ ` A ≡ B ⇔ Γ, A ` B è Γ, B ` A .
Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü.
(1)   Γ, A ` B        ïðåäïîëîæåíèå
                ¡
(2)   Γ ` A ¢B          ïî DT èç ïðåäûäóùåãî
(3)   Γ, B ` A  ïðåäïîëîæåíèå
                ¡
(4)   Γ ` B ¢ A  ïî DT èç ïðåäûäóùåãî
             ¡¢       ¡         ¡        ¡
(5)   Γ, A B, B ¢ A ` (A ¢ B) N (B ¢ A)  âåäåíèå N
                  ¡¢         ¡¢
(6)   Γ ` (A B) N (B A)             äâàæäû ïðèìåíÿÿ Cut, èñïîëüçóÿ
      (2), (4) è (5)
åñòü âûâîä Γ ` A ≡ B èç ïðåäïîëîæåíèé Γ, A ` B è Γ, B ` A.
   Äîñòàòî÷íîñòü.
           ¡         ¡
(1) Γ ` (A ¢ B) N (B ¢ A)      ïðåäïîëîæåíèå

Страницы