Исчисления высказываний классической логики. Гуров С.И. - 80 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

h B, t, u,
0
, v, o, ι i
¡
¢
a
¡
¢
b
def
= a
0
t b
D h B, t, u,
0
, v, o, ι i
ι ∈ D
a ∈ D a
¡
¢
b ∈ D ⇒ b ∈ D
D B
a ∈ D a
¡
¢
b ∈ D F 2
a u (a
¡
¢
b) ∈ D a u (a
0
t b) = a u b ∈ D a u b v b
F 1 b ∈ D
D
D B
D
D F 1
0
F 2
F 1
0
b ∈ B a
¡
¢
(a t b) = a
0
t a t b = ι ∈ D
a ∈ D a t b ∈ D
F 2 a, b ∈ D
b = (a t a
0
) u b
Dtr1
= (a u b) t (a
0
u b)
DeM 1, Com
=
= (a t b
0
)
0
t (a u b) = (a t b
0
)
¡
¢
(a u b) ∈ D .
a ∈ D F 1
0
a t b
0
∈ D a u b ∈ D
D B ¤
D(a
1
, . . . , a
n
) a
1
, . . . , a
n
B B
a
1
, . . . , a
n
B
D(a
1
, . . . , a
n
)
(a
1
u . . . u a
n
) t b , b ∈ B .
80             Ãëàâà 2. Èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé. Ãèëüáåðòîâñêèå ÈÂ


   Ââåä¼ì íà áóëåâîé ñòðóêòóðå h B, t, u, 0 , v, o, ι i áèíàðíóþ îïåðà-
      ¡               ¡ def
öèþ ¢ ïî ïðàâèëó a ¢ b = a 0 t b.
Ëåììà 2.5. Ïîäìíîæåñòâî D áóëåâîé ñòðóêòóðû h B, t, u, 0 , v, o, ι i
ÿâëÿåòñÿ ôèëüòðîì, åñëè è òîëüêî åñëè
     1. ι ∈ D     è
     2. a ∈ D è a ¡¢ b ∈ D ⇒ b ∈ D.
Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòü D  ôèëüòð íà B .
     1. Âûïîëíåíèå óñëîâèÿ (1) î÷åâèäíî.
                           ¡
     2. Ïóñòü a ∈ D è a ¢ b ∈ D. Òîãäà ïî ñâîéñòâó ôèëüòðà F 2 èìååì
               ¡¢
        a u (a b) ∈ D, ò.å. a u (a 0 t b) = a u b ∈ D. Ïîñêîëüêó a u b v b,
        òî ïî ñâîéñòâó ôèëüòðà F 1 ïîëó÷àåì b ∈ D.

   Äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü ìíîæåñòâî D óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì (1)
è (2) òåîðåìû. Óäîñòîâåðèìñÿ, ÷òî òîãäà D  ôèëüòð íà B .
   Âî-ïåðâûõ, óñëîâèå (1) îáåñïå÷èâàåò íåïóñòîòó D. Ïîêàæåì, âî-
âòîðûõ, ÷òî äëÿ D âûïîëíÿþòñÿ ñâîéñòâà F 10 è F 2, îïðåäåëÿþùèå
ôèëüòð.
                                         ¡
       F 10 . Äëÿ ëþáîãî b ∈ B èìååì a ¢(a t b) = a 0 t a t b = ι ∈ D
      ïî óñëîâèþ (1). Òåïåðü ïî óñëîâèþ (2) åñëè a ∈ D, òî è a t b ∈ D.
       F 2. Ïóñòü a, b ∈ D. Òîãäà

                            Dtr1                    DeM 1, Com
          b = (a t a 0 ) u b = (a u b) t (a0 u b)        =
                                                             ¡¢
                         = (a t b ) t (a u b) = (a t b 0 )
                                    0 0
                                                                (a u b) ∈ D .

       Òàê êàê a ∈ D, òî ïî F 10 è a t b 0 ∈ D. Òåïåðü è a u b ∈ D ïî
       óñëîâèþ (2).
Òàêèì îáðàçîì, D  ôèëüòð íà B .                                                ¤

   Ôèëüòð D(a1 , . . . , an ), ïîðîæä¼ííûé ýëåìåíòàìè a1 , . . . , an áóëå-
âîé àëãåáðû B åñòü íàèìåíüøèé ôèëüòð B , ñîäåðæàùèé ýòè ýëåìåí-
òû. Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà äà¼ò îòâåò íà âîïðîñ î ñòðîåíèè ôèëüòðà, ïî-
ðîæä¼ííîãî çàäàííûì ìíîæåñòâîì ýëåìåíòîâ áóëåâîé àëãåáðû.
Ëåììà 2.6. Ïóñòü a1 , . . . , an  ýëåìåíòû áóëåâîé àëãåáðû B . Òîãäà
ãëàâíûé ôèëüòð D(a1 , . . . , an ) ñîñòîèò èç ýëåìåíòîâ âèäà

                       (a1 u . . . u an ) t b ,   b∈B.

Страницы