Исчисления высказываний классической логики. Гуров С.И. - 81 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

a
1
, . . . , a
n
¤
D(a
1
, . . . , a
n
) B
(a
1
u. . .ua
n
) D(a
1
, . . . , a
n
) = { b ∈ B | (a
1
u. . .ua
n
) v b }
L
∗
Γ = {A
1
, . . . , A
n
}
Γ
L
∗
[A
1
N . . . N A
n
]
Γ = { ¬(x N y), y } N
Γ ` ¬ (x N y) N y
¬ (x N y) N y ' (¬ x ∨ ¬ y) N y ' ¬ x N y ∈ [¬(y
¡
¢
x)] .
Γ [¬ (y
¡
¢
x)]
Γ = { ¬ (x N y), x ∨ y } [Γ]
[¬ (x ≡ y)]
5. Òèïû ëîãè÷åñêèõ èñ÷èñëåíèé è èõ ïðåäñòàâëåíèÿ                                     81


Äîêàçàòåëüñòâî. Óêàçàííàÿ êîíñòðóêöèÿ, ñ îäíîé ñòîðîíû, îïèñûâà-
åò ôèëüòð, à ñ äðóãîé  åìó ïðèíàäëåæàò ýëåìåíòû a1 , . . . , an .                    ¤

   Òàêèì îáðàçîì, D(a1 , . . . , an ) ñîñòàâëÿþò âñå ýëåìåíòû B , ñîäåð-
æàùèå (a1 u . . . u an ), ò.å. D(a1 , . . . , an ) = { b ∈ B | (a1 u . . . u an ) v b }.
   Ïðèìåíÿÿ äàííûå ðåçóëüòàòû ê àëãåáðå ËèíäåíáàóìàÒàðñêîãî L∗
óäîñòîâåðÿåìñÿ, ÷òî ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ
Òåîðåìà 2.13. Ïóñòü Γ = {A1 , . . . , An }  íàáîð ôîðìóë ÈÂ. Òî-
ãäà âûâîäèìûå èç Γ ôîðìóëû ñóòü ýëåìåíòû êëàññîâ ýêâèâàëåíòíî-
ñòè, ïðèíàäëåæàùèõ ãëàâíîìó ôèëüòðó íà L∗ , ïîðîæä¼ííîìó êëàñ-
ñîì [A1 N . . . N An ].
   Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî óñëîâèå (2) ëåììû 2.5 ñîîòâåò-
ñòâóåò ïðàâèëó MP. ßñíî, ÷òî èç ýòîé òåîðåìû ñëåäóåò ïîëíîòà ðàñ-
ñìàòðèâàåìîãî ÈÂ.
Ïðèìåð 2.7. Ïóñòü Γ = { ¬(x N y), y }. Ïî ïðàâèëó ââåäåíèÿ N èìååì
Γ ` ¬ (x N y) N y è äàëåå
                                                            ¡
           ¬ (x N y) N y ' (¬ x ∨ ¬ y) N y ' ¬ x N y ∈ [¬(y ¢ x)] .

Òàêèì îáðàçîì, âñå ôîðìóëû, âûâîäèìûå èç ïðèâåä¼ííîé ñîâîêóïíîñòè
                                                                ¡
ãèïîòåç Γ îïèñûâàþòñÿ ãëàâíûì ôèëüòðîì, ïîðîæä¼ííûì [¬ (y ¢ x)]
(ñì. ðèñ. 2.1).
    äàííîì ñëó÷àå ïîëó÷åí óëüòðàôèëüòð. Åñëè âçÿòü, íàïðèìåð,
Γ = { ¬ (x N y), x ∨ y }, òî [Γ] áóäåò îïèñûâàòüñÿ ãëàâíûì ôèëüòðîì,
ïîðîæä¼ííûì êëàññîì [¬ (x ≡ y)]. Ýòîò ôèëüòð íå ìàêñèìàëåí.


5 Òèïû ëîãè÷åñêèõ èñ÷èñëåíèé è èõ ïðåäñòàâëåíèÿ
5.1 ÈÂ ãèëüáåðòîâñêîãî òèïà

   Ðàññìîòðåííûå íàìè ëîãè÷åñêèå èñ÷èñëåíèÿ ïðèíàäëåæàò ê òàê íà-
çûâàåìîìó ãèëüáåðòîâñêîìó òèïó. Äëÿ âñåõ íèõ õàðàêòåðíà ôîðìóëè-
ðîâêà ëîãè÷åñêèõ ïðàâèë, â îñíîâíîì, â âèäå àêñèîì.  È ãèëüáåð-
òîâñêîãî òèïà íåò íèêàêèõ âûðàæåíèé, êðîìå ôîðìóë. Äëÿ âñåõ íèõ
ñïðàâåäëèâû ñâîéñòâà âûâîäèìîñòè, ðàññìîòðåííûå â ï. 2.1.
   Ïðèâåä¼ì êðàòêîå îïèñàíèå íåêîòîðûõ äðóãèõ âñòðå÷àþùèõñÿ â ëè-
òåðàòóðå ãèëüáåðòîâñêèõ èñ÷èñëåíèé, ôîðìàëèçóþùèõ êëàññè÷åñêóþ
àëãåáðó ëîãèêè. Îíè òàêæå ðàçëè÷àþòñÿ ïðàâèëàìè âûâîäà (íåçíà÷è-
òåëüíî), íàáîðàìè ïðèìèòèâíûõ ñâÿçîê è, êàê ñëåäñòâèå, ñèñòåìàìè àê-
ñèîì. Ïðè çàïèñè ôîðìóë äåéñòâóþò ïðàâèëà ýêîíîìèè ñêîáîê. Âî âñåõ

Страницы