Исчисления высказываний классической логики. Гуров С.И. - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

2
F H H
A3
(¬ A
¡
¢
¬ B)
¡
¢
(B
¡
¢
A)
F
¬ & ∨ → ↔
p → (q → p)
(p → (q → r )) → ((p → q) → (p → r))
p&q → p
p&q → q
p → (q → (p&q))
p → p ∨ q
q → p ∨ q
(p → r) → ((q → r) → (p ∨ q → r))
(p ↔ q) → (p → q)
(p ↔ q) → (q → p)
(p → q) → ((q → p) → (p ↔ q))
(¬p → ¬q) → (p → q)
¡
¢
→
∨
p → q ∨ p
q → q ∨ p
(p → q ∨ p) → ((q → q ∨ p) → (p ∨ q → q ∨ p))
(q → q ∨ p) → (p ∨ q → q ∨ p)
p ∨ q → q ∨ p
82             Ãëàâà 2. Èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé. Ãèëüáåðòîâñêèå ÈÂ


ðàññìàòðèâàåìûõ èñ÷èñëåíèÿõ èìåþòñÿ ñòàíäàðòíûå îïðåäåëåíèÿ òåî-
ðåìû è âûâîäà èç íàáîðà ãèïîòåç. Ñàìè ýòè èñ÷èñëåíèÿ âåñüìà ïðîñòû,
ïîñêîëüêó îíè ôîðìàëèçóþò î÷åíü íåñëîæíóþ òåîðèþ êëàññè÷åñêîé
àëãåáðû âûñêàçûâàíèé C2 , îïåðèðóþùóþ êîíå÷íûìè îáúåêòàìè ïðî-
ñòåéøåé ïðèðîäû  âûñêàçûâàíèÿìè.


F ÈÂ, áëèçêîå ê H , ïðåäëîæåíî Ëóêàñåâè÷åì. Îíî îòëè÷àåòñÿ îò H
åäèíñòâåííî òåì, ÷òî âìåñòî A3 â íåé èñïîëüçóåòñÿ ñõåìà àêñèîì
             ¡         ¡¢    ¡
        (¬ A ¢ ¬ B)       (B ¢ A)   (êîíòðàïîçèöèÿ).


F    ×àñòî ðàññìàòðèâàþò ñëåäóþùåå ÈÂ.

     ˆ Ïðèìèòèâíûå ñâÿçêè: ¬, &, ∨, → è ↔.
     ˆ Àêñèîìû:

        1.   p → (q → p) ;
        2.   (p → (q → r)) → ((p → q) → (p → r)) ;
        3.   p&q → p ;
        4.   p&q → q ;
        5.   p → (q → (p&q)) ;
        6.   p → p∨q;
        7.   q → p∨q;
        8.   (p → r) → ((q → r) → (p ∨ q → r)) ;
        9.   (p ↔ q) → (p → q) ;
       10.   (p ↔ q) → (q → p) ;
       11.   (p → q) → ((q → p) → (p ↔ q)) ;
       12.   (¬p → ¬q) → (p → q) .
                                                 ¡¢
     ˆ Ïðàâèëà âûâîäà: MP (ñ ó÷¼òîì çàìåíû          íà →) è Subst.

      êà÷åñòâå ïðèìåðà âûâîäà ïîêàæåì êîììóòàòèâíîñòü çíàêà ∨ :

(1) p → q ∨ p        ïîäñòàíîâêà â àêñèîìó 7
(2) q → q ∨ p        ïîäñòàíîâêà â àêñèîìó 6
(3) (p → q ∨ p) → ((q → q ∨ p) → (p ∨ q → q ∨ p))       ïîäñòàíîâêà â
     àêñèîìó 8
(4) (q → q ∨ p) → (p ∨ q → q ∨ p)       ïî MP èç (1) è (3)
(5) p ∨ q → q ∨ p       ïî MP èç (2) è (4)

Страницы