Исчисления высказываний классической логики. Гуров С.И. - 84 стр.

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МГУ | Москва

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p, q, . . .
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84           Ãëàâà 2. Èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé. Ãèëüáåðòîâñêèå ÈÂ


F Â èçâåñòíîé ìîíîãðàôèè Ñ. Êëèíè [8] ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëåäóþùåå
èñ÷èñëåíèå âûñêàçûâàíèé.
                                 ¡
   ˆ Ïðèìèòèâíûå ñâÿçêè: ¬, ¢, &, ∨ è ∼.
   ˆ Ñõåìû àêñèîì:
              ¡    ¡
       1. A ¢¡(B ¢¡A) ; ¡       ¡      ¡    ¡
       2. (A ¡ B) ¡¢ ((A ¢(B ¢ C)) ¢(A ¢ C)) ;
               ¢
       3. A ¢ (B¡ ¢(A&B) ;
       4. A&B ¢¡ A ;
       5. A&B    ¢B;
             ¡
       6. A ¢¡A ∨ B ;
       7. B ¢¡A ∨ B¡;      ¡    ¡        ¡
       8. (A ¢¡ C) ¢¡ ((B ¡¢ C) ¢(A¡ ∨ B ¢ C)) ;
       9. (A ¢ B)¡ ¢ ((A ¢ ¬B) ¢ ¬A ;
      10. ¬¬ A¡ ¢ A ;¡     ¡    ¡
      11. (A ¢ B) ¢¡ ((B ¡ ¢ A) ¢(A ∼ B)) ;
      12. (A ∼ B) ¢¡ (A ¢¡B) ;
      13. (A ∼ B) ¢ (B ¢ A) .
     ˆ Ïðàâèëî âûâîäà  MP.
       Ïðàâèëî âûâîäà è àêñèîìû îáúåäèíÿþòñÿ â îáùóþ ñèñòåìó ïî-
       ñòóëàòîâ .
   Àâòîð óêàçûâàåò: ¾Ñïèñîê èç òðèíàäöàòè ñõåì àêñèîì ìîæåò ïîêà-
çàòüñÿ óäèâèòåëüíî äëèííûì. Îäíàêî äëÿ âñÿêîé ïðîïîçèöèîíàëüíîé
ñâÿçêè íóæíû õàðàêòåðèçóþùèå å¼ àêñèîìû, ò.å. àêñèîìû, îáåñïå÷è-
âàþùèå òå äåäóêòèâíûå ñâîéñòâà, êîòîðûå ìû õîòèì âèäåòü ó ýòîé
ñâÿçêè¿. Ýòî çàìå÷àíèå ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáûõ ñèñòåì ïðîïîçèöèî-
íàëüíûõ ñâÿçîê è àêñèîì èñ÷èñëåíèé.

F Ïðèâåä¼ííîå íèæå È (ìû áóäåì îáîçíà÷àòü åãî Hf ) ðàññìîòðåíî
â ôóíäàìåíòàëüíîé ìîíîãðàôèè À. ×¼ð÷à ¾Ââåäåíèå â ìàòåìàòè÷å-
ñêóþ ëîãèêó¿. Îíî óäîáíî äëÿ òåîðåòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé.
     ˆ ßçûê Hf âêëþ÷àåò ïðîïîçèöèîíàëüíûå ïåðåìåííûå p, q, . . .,
       ñêîáêè [ è ], ñèìâîë f (èíòåðïðåòèðóåìûé êàê êîíñòàíòà
                                                       ¡
       ¾ëîæü¿) è ñèìâîë ëîãè÷åñêîé ñâÿçêè ¢.
       Àòîìàðíûå ôîðìóëû â Hf ñóòü ïðîïîçèöèîíàëüíûå ïåðåìåííûå
                                                     ¡
       è f . Åñëè A è B  ôîðìóëû, òî [A ¢ B]  ìîëåêóëÿðíàÿ ôîð-
       ìóëà.
     ˆ Àêñèîìû:
                 ¡     ¡
         1. [ p ¢¡[ q ¡¢ p ]] ; ¡   ¡     ¡    ¡
         2. [[ s ¢[ p ¢ q ]] ¢ [[ s ¢ p ] ¢[ s ¢ q ]]] ;

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