Исчисления высказываний классической логики. Гуров С.И. - 86 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

H
0
H
0
Γ
`
L
h L, ` i
A, B, C, . . . f, g, h, . . .
A B
Mor(A, B) f : A → B A
f
→ B
A
1
A
: A → A A
f
→ B
g
→ C
A
g◦ f
→ C
A
f
→ B 1
B
◦ f = f ◦ 1
A
= f
A
f
→ B
g
→ C
h
→ D (h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f )
86           Ãëàâà 2. Èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé. Ãèëüáåðòîâñêèå ÈÂ


   Ìåòàòåîðèÿ È H0 î÷åíü ïðîñòà, ïîñêîëüêó âîïðîñû êîððåêòíîñòè,
íåïðîòèâîðå÷èâîñòè, ïîëíîòû è ò.ä. ðåøàþòñÿ òðèâèàëüíî.  ñâÿçè ñ
ýòèì íà îñíîâå H0 óäîáíî ñòðîèòü ôîðìàëüíûå òåîðèè (êàê ýòî ñäåëà-
íî, íàïðèìåð, â [21]), ïîñêîëüêó ðåøåíèå óïîìÿíóòûõ âûøå âîïðîñîâ
ìåòàòåîðèè áóäåò ñâÿçàíî èñêëþ÷èòåëüíî ñ íåëîãè÷åñêèìè àêñèîìàìè
è ïðàâèëàìè âûâîäà, õàðàêòåðíûìè äëÿ äàííîé òåîðèè, à íå äëÿ ÈÂ,
íà áàçå êîòîðîãî îíà ïîñòðîåíà.
    ëèòåðàòóðå îïèñàíû è äðóãèå êëàññè÷åñêèå È ãèëüáåðòîâñêî-
ãî òèïà. Ñðåäè íèõ âñòðå÷àþòñÿ âåñüìà ýêçîòè÷åñêèå: ñ åäèíñòâåííîé
ñõåìîé àêñèîì, ñ åäèíñòâåííîé ëîãè÷åñêîé ñâÿçêîé è ò.ä. (ñì., íàïðè-
ìåð, [14]).

5.2 Âûâîäèìîñòü êàê îïåðàòîð çàìûêàíèÿ. Ëîãèêà êàê êà-
    òåãîðèÿ

    Çàìåòèì, ÷òî âûâîäèìîñòü èç íàáîðà ãèïîòåç Γ ìîæíî ðàññìàò-
ðèâàòü êàê îïåðàöèþ ïðèñîåäèíåíèÿ ñëåäñòâèé . Ëåãêî âèäåòü, ÷òî îñ-
íîâíûå ñâîéñòâà (1)(3) âûâîäèìîñòè (ñ. 54) ãîâîðÿò î òîì, ÷òî îïå-
ðàöèÿ ïðèñîåäèíåíèÿ ñëåäñòâèé åñòü åù¼ îäíà êîíêðåòèçàöèÿ îïåðàòî-
ðà çàìûêàíèÿ. Áîëåå òîãî, îïåðàòîð ` îáëàäàåò ñâîéñòâàìè (4) è (5)
ò.å. ÿâëÿåòñÿ ôèíèòàðíûì è ñòðóêòóðíûì. Òàêîé îïåðàòîð ïðèñîåäèíå-
íèÿ ñëåäñòâèé â ëîãèêå íàçûâàþò ñòàíäàðòíûì . Åñëè L  íåêîòîðûé
ôîðìàëüíûé ÿçûê òèïà ðàññìîòðåííûõ âûøå, òî ïàðó h L, ` i ìîæíî
ñ÷èòàòü åù¼ îäíîé ôîðìàëèçàöèåé èñ÷èñëåíèé è, â ÷àñòíîñòè, ðàññìîò-
ðåííûõ ÈÂ16 .
    Íàïîìíèì ÷èòàòåëþ ïîíÿòèå êàòåãîðèè. Êàòåãîðèÿ ñîñòîèò èç
îáúåêòîâ A, B, C, . . . è ìîðôèçìîâ (ñòðåëîê) f, g, h, . . .. Ïðè ýòîì
êàæäîé ïàðå îáúåêòîâ A è B ñîïîñòàâëåíî ìíîæåñòâî ìîðôèçìîâ
                                                                  f
Mor(A, B), ýëåìåíòû êîòîðîãî îáîçíà÷àþò f : A → B èëè A → B .
Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî äëÿ êàæäîãî îáúåêòà A èìååòñÿ åäèíè÷íûé
                                                           f    g
ìîðôèçì 1A : A → A, à äëÿ êàæäîé ïàðû ìîðôèçìîâ A → B → C 
                  g◦f
èõ êîìïîçèöèÿ A → C . Ïðè ýòîì âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå ïðàâèëà:
                   f
      1) åñëè A → B , òî 1B ◦ f = f ◦ 1A = f  çàêîíû èäåíòè÷íî-
     ñòè ;
                   f     g    h
      2) åñëè A → B → C → D, òî (h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f )  çàêîí
     àññîöèàòèâíîñòè .
  16 Òàêàÿ íåîæèäàííàÿ êîíêðåòèçàöèÿ îïåðàòîðà çàìûêàíèÿ îáíàðóæåíà À. Òàð-
ñêèì â 1930 ã.

Страницы