Составители:
Все четыре операции сохраняют соотношения (2.1), (2.2). Тео-
рема доказана.
Теорема 2
Пространство H(b), b > 0 есть пятимерное открытое многообразие.
Пусть E
0
(c
0
, e
0
) ∈ H(b). Повернем оси координат так, чтобы век-
тор площадей и вектор Лапласа имели составляющие c
0
(0, 0, c
0
),
e
0
(e
0
, 0, 0). Заметим, что поворот осей не меняет метрики (2.4).
Представим координаты произвольной близкой к E
0
точки E ∈
H(b) в виде
c
1
= z
1
, c
2
= z
2
, c
3
= c
0
+z
3
; e
1
= e
0
+z
4
, e
2
= z
5
, e
3
= f(z), (2.5)
где в силу (2.1), (2.2)
f(z) = −
z
1
(e
0
+ z
4
) + z
2
z
5
c
0
+ z
3
,
c
0
> b, z
2
1
+ z
2
2
+ (c
0
+ z
3
)
2
> b
2
. (2.6)
Отсюда вытекает, что любой точке z = (z
1
, z
2
, z
3
, z
4
, z
5
) ∈ R
5
из до-
статочно малого шара z
2
1
+ z
2
2
+ . . . + z
2
5
< ε
2
соответствует точка
E(c
1
, c
2
, c
3
; e
1
, e
2
, e
3
) ∈ H(b) с координатами (2.5), причем из z → 0
(в смысле евклидовой метрики R
5
) вытекает E → E
0
(в смысле мет-
рики %). Обратно, каждой близкой к E
0
(в смысле метрики %) точке
E ∈ H(b) соответствует точка z = (c
1
, c
2
, c
3
− c
0
; e
1
− e
0
, e
2
) ∈ R
5
,
причем из E → E
0
(в смысле метрики %) вытекает z → 0 (в смысле
евклидовой метрики R
5
). Непрерывность в обе стороны зависимо-
сти (c, e) ←→ z завершает доказательство.
Пространство H(b), b > 0 неполно: если c
n
→ c
0
, e
n
= e
0
,
|c
0
| = b, то последовательность {E(c
n
, e
n
)} не имеет предела в H(b).
При b > 0 его можно пополнить, добавив край c = b. При b = 0 мы
видели, что такое пополнение лишено содержательного смысла.
2.2. Пространство орбит H
Будем считать одной орбитой восходящую и нисходящую ветви
неограниченных прямолинейных траекторий. В противном случае
нам не удастся метризовать пространства. Например, при фикси-
рованном h > 0 и e → 1, p → 0 гипербола приближается к сово-
купности двух ветвей прямолинейно-гиперболической орбиты (см.
58
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- …
- следующая ›
- последняя »
