Математическое программирование и моделирование экономических процессов. Коробов П.Н. - 217 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГЛТУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

217
кривая
L
не замкнута, то частная, допустимая область не ограничена, если же замкнута и
g
i
(
x
1
,
х
2
)<0, внутри контура, то ограничена (рис.6.2). Но как узнать по какую сторону от
кривой
L
лежит частная допустимая область, определяемая неравенством
g
i
(
x
1
,
х
2
)≤0?
Это определяется очень просто, если построить в произвольной точке контура
вектор ∇
g
i
(
x
1
,
х
2
), который называется гра
диентом функции
g
i
(
x
1
,
х
2
)
. Градиентом функции
называется
вектор, у которого координаты являются частными производными функции
.
Градиент функции обозначается символом ∇, npocтавляемым перед функцией (знак ∇
называется «набла»). Иногда градиент функции обозначается через
grad g
i
(
x
1
,
х
2
)
.
Обозначение ∇ короче и поэтому наиболее употребительно. Таким образом градиент
функции
g
i
(
x
1
,
х
2
)
—
переменный двумерный вектор:
( )
.;,
21
21
∂
∂
∂
∂
=∇
x
g
x
g
xxg
ii
i
(6.8)
Градиент функции в заданной точке всегда направлен по нормали к линии уровня,
проходящей через эту точку в сторону возрастания функции.
Нулевая линия уровня
g
i
(
x
1
,
х
2
)=0 отделяет область положительных значений
∇
f
∇
f
∇
f
∇
f
∇
f
Z=a
4
Z=a
5
Z=a
3
Z=a
2
Z=a
1
x
1
x
2
0
Рис.6.3
функции от области отрицательных ее значений. Поэтому частная допустимая область
лежит по ту сторону от кривой
L
, где векторы ∇
g
i
(
x
1
,
х
2
) не располагаются.
Перейдем теперь к геометрическому изображению целевой функции
Z=f
(
x
1
,
х
2
)
.
Если придать
Z
определенное фиксированное числовое значение
Z
=
a
, то мы получим одно
уравнение
f
(
x
1
,
х
2
)
=a
с
двумя неизвестными
х
1
,
х
2
,
которому будут удовлетворять координаты
точек некоторой кривой. При перемещении по этой кривой
x
1
и
х
2
будут непрерывно
изменяться, но значение функции (6.5) будет оставаться постоянным, равным числу
Z = a.
Поэтому такая кривая называется
линией уровня функции
(6.5), соответствующая величине
Z
=
a
. Каждому числовому значению параметра
а
соответствует своя линия уровня. Таким
образом, целевая функция
Z =f
(
x
1
,
х
2
) изображается на плоскости
x
1
O
x
2
семейством линий
уровня (рис. 6.3).
Градиент

Страницы