Математическое программирование и моделирование экономических процессов. Коробов П.Н. - 219 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГЛТУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

219
1. Точка (
)0(
2
)0(
1
, xx ) является внутренней точкой допустимой области. В этом случае
линии уровня в окрестности этой точки замкнуты и стягиваются в точку (
)0(
2
)0(
1
, xx ), в
которой
∇
f(
)0(
2
)0(
1
, xx )=0. Для вычисления координат этой точки надо вычислить первые
частные производные функции и приравнять их нулю. Оптимальное решение (
)0(
2
)0(
1
, xx )
найдется как решение полученной системы
:
(
)
(
)
.0
,
;0
,
2
21
1
21
=
∂
∂
=
∂
∂
x
xxf
x
xxf
(6.9)
2. Точка М (
)0(
2
)0(
1
, xx ) — граничная угловая точка допустимой области (рис.6.4).
В этом случае точные значения ее координат найдутся как координаты точки
пересечения двух смежных граничных кривых.
Например, для определения координат оптимальной М(
)0(
2
)0(
1
и xx ) (рис. 6.4) надо
решить систему уравнений:
(
)
(
)
.0,;0,
213212
==
xxgxxg
3. Точка М (
)0(
2
)0(
1
, xx ) —граничная не угловая точка допустимой области (рис. 6.5).
В оптимальной точке М касательная к граничной линии g(x
1
, х
2
)=0 и к допустимой линии
уровня maxZ=f(x
1
, х
2
)= a общая и поэтому будет общей и нормаль. Следовательно, векторы
∇
g(M) и
∇
f(M) имеют одинаковое направление, так как они должны лежать на нормали.
Два вектора, лежащие на одной прямой, должны иметь пропорциональные координаты. Из
этого следует, что координаты
)0(
2
)0(
1
, xx оптимальной точки должны удовлетворять системе
трех уравнений
(
)
(
)
( ) ( )
( )
=
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
0,
,
,,
,
,,
21
2
21
2
21
1
21
1
21
xxg
x
xxg
x
xxf
x
xxg
x
xxf
λ
λ
(6.10)
с тремя неизвестными — x
1
, х
2
и
λ
(коэффициент пропорциональности). Третье уравнение
выражает требование принадлежности точки М к соответствующей граничной линии. Итак,
для определения координат оптимальной точки М (
)0(
2
)0(
1
, xx ) надо составить систему
уравнений (6.10) и затем ее решить. При этом определять число λ не обязательно, так как
нас интересуют только значения координат
)0(
2
)0(
1
, xx .
Пример. Рассмотрим нелинейную задачу об использовании ресурсов при
изготовлении двух видов продукции
P
1
и Р
2
, в том случае когда использование некоторых
видов ресурсов не пропорционально количеству продукции. К таким видам ресурсов могут
относиться, например, затраты машинного времени, рабочего времени и т. д. Мы не будем
здесь конкретизировать виды продукции и ресурсов, а поставим задачу в относительно
общем виде.
Предположим, что для изготовления продукции
P
1
и Р
2
требуется использование
трех видов ресурсов R
1
, R
2
, R
3
. Располагаемое количество peсурсов и нормы их расхода на
изготовление единицы каждого вида продукции известны и задаются табл. 6.1.
Табл. 6.1

Страницы