Математическое программирование и моделирование экономических процессов. Коробов П.Н. - 222 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГЛТУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

222
обеспечения максимальной прибыли необходимо производить 10 единиц продукции вида
P
I
и 23 единицы продукции вида Р
2
При этом максимальная прибыль составит:
maxf(M) =4⋅10 + 5⋅23=155 денежных единиц.
Теперь изменим условия задачи. Представим себе, что целевая функция нелинейна
и имеет следующий вид:
ϕ
= (x
1
, х
2
) = (4 — 0,100x
1
)x
1
+ (5 — 0,126x
2
)х
2
. (6.16)
В этом случае чистая прибыль на единицу продукции уменьшается с увеличением
ее выпуска. Положим, что такой случай вызван, например, увеличением дополнительных
непроизводительных затрат, связанных с дальнейшим увеличением выпуска
продукции (расходы по хранению, местной транспортировки и т. д.). Задаваясь
произвольным значением функции (6.16), например числом 80, строим
соответствующую линию уровня этой функции (см. рис. 6.6). Вычисляем градиент
функции (6.16):
( ) ( )
.252,05,200,04,,
21
21
21
xx
xx
xx
−−=
∂
∂
∂
∂
=∇
ϕϕ
ϕ
(6.17)
Построение ∇
ϕ
в произвольной точке кривой
ϕ
(x
1
, x
2
) =80 показывает, что целевая
функция (6.16) в допустимой области монотонно возрастает. Из рисунка ясно видно, что
допустимая линия уровня, соответствующая максимуму этой функции, должна
соприкасаться с граничной линией g
1
(x
1
;x
2
)=0 в некоторой точке N, в которой градиенты
∇
ϕ
(N) и ∇g
1
(N) имеют одинаковое направление. Следовательно, координаты точки N
должны удовлетворять нелинейной системе уравнений (6.10), которая для данного
примера будет иметь следующий вид:
4—0,200x
1
=
λ
(3— 0,090x
1
),
5— 0,252x
2
=
λ
(4—0,142x
2
), (6.18)
(3 — 0,045x
1
)x
1
+ (4 — 0,071x
2
) x
2
= 80.
Неотрицательное решение этой системы
x
1
=12,8; x
2
=17,9
является оптимальным планом выпуска продукции
P
1
и
Р
2
с
нелинейной целевой
функцией (6.16), при этом максимальная прибыль составляет:
max
ϕ
(
x
1
,
x
2
) =
ϕ
(12,8; 17,9)
≈
84 денежных единиц.
Снова несколько изменим условия задачи. Представим себе, что целевая
функция имеет вид:
ψ
(
x
1
,
x
2
) = (4 — 0,125
x
1
)
x
1
+ (5 — 0,250
x
2
)
x
2
. (6.19)
Эта функция отличается от функции (6.16) только тем, что прибыль на единицу
продукции уменьшается с увеличением количества ее быстрее, чем в предыдущем случае.
Вычислим градиент этой функции
( ) ( )
.50,05;25,04,,
21
21
21
xx
xx
xx
−−=
∂
∂
∂
∂
=∇
ψψ
ψ
(6.20)
Приравняем составляющие градиента нулю
4 — 0,25
x
1
= 0,
5 — 0,50
x
2
= 0. (6.21)
Решением этой системы является внутренняя точка D допустимой области (см. рис.
6.6) с координатами
x
1
=16;
x
2
=10. Эта точка и будет оптимальным планом выпуска
продукции видов P
1
и Р
2
, при этом
max
ψ
(
x
1
,
x
2
) =
ψ
(16,10) = 57 денежных единиц.
На этом примере мы рассмотрели все возможные случаи, которые могут
встретиться при решении задачи графическим способом. Кроме того, этот пример наглядно
показывает отличительные черты нелинейных задач по сравнению с линейными. В

Страницы