Составители:
Рубрика:
223
линейном программировании допустимая область всегда является выпуклым
многоугольником. Область называется выпуклой, если любой отрезок, соединяющий две
точки области, целиком принадлежит этой области. В нелинейном программировании
допустимая область может быть и не выпуклой. На рис. 6.6 криволинейный заштрихованный
пятиугольник не выпуклый. Например, любой отрезок, соединяющий две точки граничной
кривой g
1
(x
1
, x
2
)=0, не будет принадлежать области (кроме его концов). В линейном
программировании экстремум целевой функции может достигаться только на границе
допустимой области. В нелинейном же программировании он может достигаться и во
внутренних точках области (см. рис. 6.6, точка D).
Наконец, в линейном программировании единственный экстремум целевой
функции достигается только в угловой точке области. В нелинейном программировании
он может быть в любой граничной точке как угловой, так и не угловой (см. рис. 6.6, точки
М и N ) .
6.2. Понятие о классических методах оптимизации
Классические методы оптимизации применяются преимущественно к решению тех
нелинейных задач, в которых ограничения отсутствуют или представляются только в виде
уравнений.
В экономических приложениях ограничения могут отсутствовать, например, в тех
случаях, когда затраты или прибыль не являются определенными детерминированными, а
зависят от значения случайных параметров. В таких экономических задачах целевой
функцией является не сама целевая функция (прибыль или затраты), а ее математическое
ожидание на определенном интервале времени.
Классические методы оптимизации применяются преимущественно по отношению к
гладким функциям.
В классической теории максимума и минимума следует ясно понимать различие
между абсолютным и локальным максимумом и минимумом, часто вместо термина
«абсолютный» используется термин «глобальный».
Функцию от п переменных х
1
, x
2
, ..., х
п
мы будем обозначать кратко через f ( X ) ,
где X = ( х
1
, x
2
, ..., х
п
) вектор или точка n-мерного пространства.
Говорят, что функция f (X ) достигает локального максимума в точке Х
0
, если
f(X)
≤
.f(X
0
) для любой точки X из сколь угодно малой окрестности точки Х
0
. Аналогично
определяется локальный минимум функции f (X ) в точке Х
0
. В окрестности этой точки
должно быть f (X )
≥
f (X
0
).
Абсолютный максимум (минимум) — это наибольшее (наименьшее) значение
функции f ( X ) на всем множестве точек, где она определена. Абсолютный максимум
(минимум) одновременно является одним из локальных максимумов (минимумов)
функции.
Для объединения понятий максимума и минимума употребляется слово экстремум.
Классическая теория экстремума не указывает на конкретные способы отыскания
абсолютного экстремума. Она дает только признаки локального экстремума. Однако
существуют функции, имеющие единственный экстремум в области определения функции. В
этом случае абсолютный и локальный экстремумы совпадают В дальнейшем изложении
мы будем считать функцию f(X ) гладкой, заданной на непрерывном сплошном замкнутом
множестве точек X. Такое точечное множество мы будем кратко называть областью.
Если локальный экстремум достигается в некоторой внутренней точке Х
0
области,
то в этой точке градиент функции равен нулю ∇f(X
0
) = 0. Обратное утверждение не всегда
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 221
- 222
- 223
- 224
- 225
- …
- следующая ›
- последняя »
