Математическое программирование и моделирование экономических процессов. Коробов П.Н. - 224 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГЛТУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

224
верно: могут существовать точки области, в которых градиент равен нулю, однако
локального экстремума там нет. Поэтому равенство градиента функции нулю, или (что все
равно) равенство всех ее частных производных нулю, в некоторой точке является только
необходимым, но недостаточным условием локального экстремума функции в этой точке.
При решении экстремальных задач нас, конечно, интересует нахождение
абсолютного экстремума.
Экстремальные задачи при отсутствии ограничений возникают в тех случаях, когда
заранее известно, что абсолютный экстремум функции достигается внутри области или же
когда функция задана на открытом (не замкнутом) множестве точек.
Процесс решения экстремальных задач при отсутствии ограничений заключается в
следующем.
Надо составить систему уравнений
.0
)(
,...,0
)(
,0
)(
21
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
n
x
Xf
x
Xf
x
Xf
(6.22)
Решения системы (6.22) называются стационарными точками функции f(X).
Далее следует найти все стационарные точки и вычислить значения функции f(X)
в этих стационарных точках. Оптимальным решением задачи является та стационарная
точка, в которой функция имеет наибольшее значение в случае задачи максимизации и
наименьшее значение при минимизации функции.
Рассмотрим экстремальные задачи при наличии ограничений в виде уравнений. В
общем задача такого типа формулируется следующим образом.
Требуется найти числа х
0
1
,х
0
2
,…,x
0
n
, без ограничений их по знаку, при которых
заданная функция
Z=f(X) (6.23)
принимает наибольшее (наименьшее) значение, при условии, что точка X
0
=
(х
0
1
,х
0
2
,…,x
0
n
) удовлетворяет неопределенной системе уравнений
g
1
(X)=0; g
2
(X)=0;…, g
m
(X)=0, (6.24)
вообще говоря, нелинейной. Экстремум функции (6.23) при условиях (6.24) называется
относительным экстремумом. Как уже говорилось выше, все функции f(X), g
i
(X) от X=(x
1
,
x
2
, . . ., х
п
) считаются гладкими.
Если точка Х
0
является некоторой точкой локального экстремума функции (6.23) и
если в этой точке градиенты∇g
1
(X
0
), ∇g
2
(X
0
),…, ∇g
m
(X
0
) линейно независимы, то в этой
точке имеет место соотношение:
∇f(X
0
) =
λ
1
∇g
1
(X
0
) +
λ
2
∇g
2
(X
0
)+…+ +
λ
m
∇g
m
(X
0
), (6.25)
где коэффициенты
λ
1
,
λ
2
,…,
λ
m
– действительные числа.
Таким образом, всякая точка локального минимума функции (6.23) должна
удовлетворять системе, состоящей из
п
уравнений вида:
∂
∂
++
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
++
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
++
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
n
m
m
nnn
m
m
m
m
x
Xg
x
Xg
x
Xg
x
Xf
x
Xg
x
Xg
x
Xg
x
Xf
x
Xg
x
Xg
x
Xg
x
Xf
)(
...
)()(
)(
..............................................................................
,
)(
...
)()(
)(
,
)(
...
)()(
)(
2
2
1
1
22
2
2
2
1
1
2
11
2
2
1
1
1
1
λλλ
λλλ
λλλ
(6.26)
и m уравнений (6.24), представляющих условия задачи. Итак, мы имеем систему п + m
уравнений (6.24) — (6.26) с п+m неизвестными x
1
, x
2
, . . ., х
п
,
λ
1
,
λ
2
,…,
λ
m
. Условия (6.24) —
(6.26) являются только необходимыми, но недостаточными условиями локального

Страницы