Составители:
Рубрика:
225
экстремума функции (6.23) при условиях (6.24). Это значит, что могут существовать
точки, которые являются решениями системы (6.24) — (6.26), но в них функция (6.23) не
будет иметь относительного локального экстремума. Поэтому для определения
абсолютного экстремума целевой функции необходимо найти все решения системы (6.24)
— (6.26), затем подсчитать значения функции (6.23) для каждого из этих решений и
выбрать среди них то, которое дает наибольшее (наименьшее) значение. Числа
λ
i
, которые
не обязательно находить, называются множителями Лагранжа, а описанный метод
нахождения относительного экстремума получил название метода множителей
Лагранжа.
Как в случае нахождения абсолютного экстремума функции при отсутствии
ограничений, так и в случае нахождения абсолютного относительного экстремума,
необходимо находить все решения в общем случае нелинейных систем уравнений.
К сожалению, не существует вычислительного метода для получения всех решений
любых нелинейных систем, поэтому практическое применение классических методов
оптимизации оказывается полезным лишь в случае, когда система имеет единственное
решение. Это условие выполняется при
минимизации выпуклых
функций и
максимизации
вогнутых
функций. Прежде чем дать определение выпуклой и вогнутой функции, уясним
понятие выпуклого множества точек
X=(x
1
, x
2
, . . ., х
п
)
в
n
-мерном эвклидовом
1
пространстве.
Всякая точка
Х
отрезка, соединяющего точки
Х
1
,
Х
2
, выражается через эти
точки следующим образом:
).10()1(
21
≤≤+−=
λλλ
XXX
(6.27)
Каждой точке отрезка соответствует определенное значение
λ
, заключенное
между нулем и единицей. Выражение (6.27) называется
выпуклой комбинацией
точек
Х
1
,
Х
2
.
Множество точек называется
выпуклым
, если оно содержит любую выпуклую
комбинацию любых двух точек
Х
1
и
Х
2
из этого множества. Таким образом,
выпуклое множество содержит отрезок, соединяющий любые две точки из этого
множества.
Определение выпуклой и вогнутой функции имеет смысл только тогда, когда
она задана на выпуклом множестве.
Функция
f
(
X
), заданная на выпуклом множестве, называется
выпуклой
, если для
любых двух точек
Х
1
и
Х
2
этого множества и любого
λ
, заключенного между нулем и
единицей
(0≤λ≤1),значения функции от выпуклой комбинации Х = (1-
λ
)X
1
+
λ
X
2
не
превосходит выпуклую комбинацию значений функции в точках X
1
и Х
2
при том же
значении
λ
. Сказанное выражается в виде следующего неравенства:
[
]
).()()1()1(
2121
XfXfXXf
λλλλ
+−≤+−
(6.28)
Аналогичным образом определяется вогнутая функция. Функция
f
(
X
)
, заданная на
выпуклом множестве, называется вогнутой, если для любых двух точек
Х
1
и
Х
2
этого
множества и любого λ 0≤λ≤1
[
]
).()()1()1(
2121
XfXfXXf
λλλλ
+−≥+−
(6.29)
Если умножить обе части неравенства (6.28) на — 1, то оно превратится в
неравенство вида (6.29). Из этого следует, что если
f
(
X
)
— выпуклая функция, то — f(X) —
вогнутая, и наоборот.
Если неравенства (6.28) или (6.29) выполняются на всем выпуклом множестве как
строгие неравенства со знаками < или >, то функция называется строго выпуклой или
строго вогнутой.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 223
- 224
- 225
- 226
- 227
- …
- следующая ›
- последняя »
