Математическое программирование и моделирование экономических процессов. Коробов П.Н. - 226 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГЛТУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

226
Линейная функция
Z = c
1
x
1
+ c
2
x
2
+ . . . + с
п
х
п
(6.30)
является выпуклой (и вогнутой) на всем эвклидовом пространстве однако линейная
функция не является ни строго выпуклой, ни строго вогнутой. Это значит, что условия
(6.28) и (6.29) выполняются для линейной функции только со знаками равенства.
Сумма выпуклых (вогнутых) функций есть выпуклая (вогнутая) функция.
Существуют дифференциальные признаки выпуклости и вогнутости гладких
функций. Эти признаки являются простыми только для функций одной и двух переменных.
1
n-мерное пространство называется эвклидовым, если расстояние между двумя точками
X
'
=(x
'
1
, x
'
2
, . . ., х
'
n
) и X
''
=(x
''
1
, x
''
2
, . . ., х
''
n
) определяется следующим образом
( )
.'''
2
1
2
1
'''
−=−
∑
=
n
j
jj
xxXX
Функция f ( x ) одной переменной х является выпуклой на отрезке [a,b], если в
любой точке этого отрезка f
''
(x)≥0.
Функция
f(x
1
, x
2
) двух переменных
x
1
, x
2
,
заданная на
выпуклом множестве
ω
плоскости x
1
0x
2
, является выпуклой, если в любой точке множества
ω
( ) ( )
( ) ( ) ( )
≥
∂∂
∂
−
∂
∂
⋅
∂
∂
≥
∂
∂
≥
∂
∂
.0
,,,
и
0
,
или0
,
2
21
21
2
2
2
21
2
2
1
21
2
2
2
21
2
2
1
21
2
xx
xxf
x
xxf
x
xxf
x
xxf
x
xxf
(6.31)
Дифференциальные признаки вогнутости функции аналогичны. Разница состоит
только в том, что у вогнутых функций производные второго порядка неположительны
f"(x)≤0,
(
)
(
)
.0
,
и0
,
2
2
21
2
2
1
21
2
≤
∂
∂
≤
∂
∂
x
xxf
x
xxf
Выпуклые и вогнутые функции представляют собой интерес в нелинейном
программировании вследствие следующих свойств этих функций.
Любой локальный минимум выпуклой функции является ее абсолютным
минимумом. Абсолютный минимум строго выпуклой функции достигается в единственной
точке выпуклого множества, на котором она задана.
Точка минимума выпуклой функции f(X) является одновременно точкой максимума
вогнутой функции - f(X). Поэтому все, что сказано в отношении к минимуму выпуклой
функции, справедливо по отношению к максимуму вогнутой функции.
Ценой увеличения расчетов можно oбoбщить метод множителей Лагранжа на случай,
когда переменные ограничены. Такой случай рассмотрим на конкретном примере.

Страницы