Математическое программирование и моделирование экономических процессов. Коробов П.Н. - 227 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГЛТУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

227
Пусть однородная лесопродукция может производиться на предприятиях П
1
, П
2
, ..., П
п
.
Прибыль, получаемая j-м предприятием от реализации произведенной продукции в
количестве х
j
единиц, представляется в виде следующей нелинейной функции
,)()(
jjjjjj
xxkaxf −=
где a
j
>0, k
j
>0 — постоянные коэффициенты.
Известны также производственные мощности M
j
предприятий П
j
.
Требуется распределить заказ по производству однородной лесопродукции в
количестве N единиц между предприятиями так, чтобы получить наибольшую прибыль от ее
реализации.
Математическая модель этой задачи будет следующей. Требуется найти
абсолютный максимум целевой функции
∑
=
−=
n
j
jjjj
xxkaXf
1
)()(
(6.32)
при условиях:
∑
=
≤≤=
n
j
jjj
MxNx
1
.0;
(6.33)
Конкретизируем задачу. Пусть n =5; N=1000. Параметры a
j
, k
j
и M
j
заданы в табл.
6.2.
Т а б . 6.2
Наименова-
ние
параметров
Предприятия
П
1
П
2
П
3
П
4
П
5
a
j
20
18
22
19
21
k
j
0,020
0,015
0,022
0,018
0,016
M
j
250
260
240
270
200
Определим тип целевой функции (6.32). Вторая производная по х
j
от каждого
слагаемого этой функции
(
)
[
]
.02
''
<−=−
jjjjj
kxxka
Поэтому функция (6.32) является строго вогнутой функцией, как сумма строго
вогнутых функций, во всем
n
-мерном пространcтве. Эта функция имеет единственный
максимум на любом выпуклом множестве точек
Х=
(
x
1
,
x
2
, ...,
х
п
),
в частности на
выпуклом множестве, определяемом линейными ограничениями (6.33).
На первом этапе решим задачу (6.32) — (6.33) при отсутствии ограничений
0
≤
x
j
≤
M
j
. Точка максимума
f(X)
должна определиться по методу множителей Лагранжа,
как результат решения системы уравнений
(
)
(
)
0)();,...,2,1(, ==
∂
∂
=
∂
∂
Xgnj
x
Xg
x
Xf
jj
λ
(6.34)

Страницы