Иллюстрации к теме "Ряды Фурье". Лодкин А.А. - 1 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Chair of Math. Analysis, SPb. State University. http://www.math.spbu.ru/user/analysis/tutorial/ Dec. 20, 2004
ИЛЛЮСТРАЦИИ К ТЕМЕ «РЯДЫ ФУРЬЕ»
А. А. ЛОДКИН
Это маленькое пособие служит дополнением к лекциям по анали-
зу, чтобы по принципу «лучше один раз увидеть . . . » дать изучаю-
щему гармонический анализ наглядное представление о поведении
рядов Фурье.
Начнем с функции ядро Дирихле
D
n
(x) =
n
X
k=−n
e
ikx
=
sin(n +
1
2
)x
sin
x
2
,
свертка с которой образует частичную сумму классического ряда
Фурье функции f по тригонометрической системе:
S
n
(x) =
n
X
k=−n
c
k
e
ikx
=
a
0
2
+
n
X
k=1
a
k
cos kx + b
k
sin kx = (f ∗ D
n
)(x).
Рисунки 1 и 2 показывают, как выглядит график этой функции
при n = 10 и n = 20.
За ними следуют графики ядер Фейера
F
n
(x) =
1
n
n−1
X
k=0
D
k
(x) =
1
n
sin
2
nx
2
sin
2
x
2
.
(рис. 3, 4). Как известно, сверткой с ядром Фейера задается чеза-
ровская сумма ряда Фурье:
σ
n
=
1
n
n−1
X
k=0
S
k
= f ∗ F
n
.
Серия рисунков 5–7 иллюстрирует явление Гиббса. На каждом
из них представлен график ступенчатой функции f (x) = sign sin x
и е¨е приближения суммами Фурье S
n
(x) =
P
n
k=1
b
n
sin nx при n =
5, 20 или 100. На них видно, что вблизи разрыва «размах» частич-
ной суммы ряда Фурье превышает размер скачка примерно на 18%.
Суммы Фейера того же рядя Фурье σ
n
=
1
n
P
n
k=1
S
n
изображены
на рисунках 8–10. Для них явление Гиббса отсутствует.
Серии рисунков 11–13 и 14–16 позволяют сравнить поведение
обычных частичных сумм ряда Фурье с поведением сумм Фейера
для периодического продолжения непрерывной функции f(x) = |x|
в окрестности «уголка».
1

Страницы