1. Физические основы классической механики
UptoLike
Кинематическое уравнение движения материальной точки (центра масс твердого тела) вдоль оси \(x\)
\(x = f(t),\)
где \(f(t)\)— некоторая функция времени.
Проекция средней скорости на ось \(x\)
\(\left\langle {{v_x}} \right\rangle = \frac{{\Delta x}}{{\Delta t}}.\)
Средняя путевая скорость
\(\left\langle v \right\rangle = \frac{{\Delta s}}{{\Delta t}},\)
где \(\Delta s\) — путь, пройденный точкой за интервал времени \(\Delta t\). Путь \(\Delta s\) в отличие от разности координат \(\Delta x = {x_2} - {x_1}\) не может убывать и принимать отрицательные значения, т. е. \(\Delta s \ge 0\).
Проекция мгновенной скорости на ось \(x\)
\({v_x} = \frac{{dx}}{{dt}}.\)
Проекция среднего ускорения на ось \(x\)
\(\left\langle {{a_x}} \right\rangle = \frac{{\Delta {v_x}}}{{\Delta t}}.\)
Проекция мгновенного ускорения на ось \(x\)
\({a_x} = \frac{{d{v_x}}}{{dt}}.\)
Кинематическое уравнение движения материальной точки по окружности
\(\varphi = f(t),r = R = const.\)
Модуль угловой скорости
\(\omega = \frac{{d\varphi }}{{dt}}.\)
Модуль углового ускорения
\(\varepsilon = \frac{{d\omega }}{{dt}}.\)
Связь между модулями линейных и угловых величин, характеризующих движение точки по окружности:
\(v = \omega R,\) \({a_\tau } = \varepsilon R,\) \({a_n} = {\omega ^2}R,\)
где \(v\) — модуль линейной скорости; \({a_\tau }\) и \({a_n}\) — модули тангенциального и нормального ускорений; \(\omega \) — модуль угловой скорости; \(\varepsilon \) — модуль углового ускорения; \(R\) — радиус окружности.
Модуль полного ускорения
\(a = \sqrt {a_n^2 + a_\tau ^2} ,\) или \(a = R\sqrt {{\varepsilon ^2} + {\omega ^4}} .\)
Угол между полным \(a\) и нормальным \({a_n}\) ускорениями
\(\alpha = \arccos ({a_n}/a).\)
Кинематическое уравнение гармонических колебаний материальной точки
\(x = A\cos (\omega t + \varphi ),\)
где \(x\) — смещение; \(A\) — амплитуда колебаний; \(\omega \) — угловая или циклическая частота; \(\varphi \) — начальная фаза.
Скорость и ускорение материальной точки, совершающей гармонические колебания:
\(v = - A\omega \sin (\omega t + \varphi );\) \(a = - A{\omega ^2}\cos (\omega t + \varphi ).\)
Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты:
а) амплитуда результирующего колебания
\(A = \sqrt {A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}\cos ({\varphi _2} - {\varphi _1})} ;\)
б) начальная фаза результирующего колебания
\(\varphi = arctg\frac{{{A_1}\sin {\varphi _1} + {A_2}\sin {\varphi _2}}}{{{A_1}\cos {\varphi _1} + {A_2}\cos {\varphi _2}}}.\)
Траектория точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях,
\(x = {A_1}\cos \omega t;\) \(y = {A_2}\cos (\omega t + \varphi ).\)
а) \(y = \frac{{{A_2}}}{{{A_1}}}x\), если разность фаз \(\varphi = 0\);
б) \(y = - \frac{{{A_2}}}{{{A_1}}}x\), если разность фаз \(\varphi = \pm \pi \);
в) \(\frac{{{x^2}}}{{A_1^2}} + \frac{{{y^2}}}{{A_2^2}} = 1\), если разность фаз \(\varphi = \pm \frac{\pi }{2}\).
Уравнение плоской бегущей волны
\(y = A\cos \omega \left( {t - \frac{x}{v}} \right),\)
где \(y\) — смещение любой из точек среды с координатой \(x\) в момент \(t\); \(v\) — скорость распространения колебаний в среде.
Связь разности фаз \(\Delta \varphi \) колебаний с расстоянием \(\Delta x\) между точками среды, отсчитанным в направлении распространения колебаний;
\(\Delta \varphi = \frac{{2\pi }}{\lambda }\Delta x,\)
где \(\lambda \) — длина волны.
Импульс материальной точки массой \(m\), движущейся со скоростью \(v\),
\(p = mv.\)
Второй закон Ньютона
\(dp = Fdt,\)
где \(F\) — результирующая сила, действующая на материальную точку.
Силы, рассматриваемые в механике:
а) сила упругости
\(F = - kx;\)
где \(k\) — коэффициент упругости (в случае пружины — жесткость); \(x\) — абсолютная деформация;
б) сила тяжести
\(P = mg;\)
в) сила гравитационного взаимодействия
\(F = G\frac{{{m_1}{m_2}}}{{{r^2}}},\)
где \(G\) — гравитационная постоянная; \({m_1}\) и \({m_2}\) — массы взаимодействующих тел; \(r\) — расстояние между телами (тела рассматриваются как материальные точки). В случае гравитационного взаимодействия силу можно выразить также через напряженность \(G\) гравитационного поля:
\(F = mG;\)
г) сила трения (скольжения)
\(F = \mu N,\)
где \(\mu \) — коэффициент трения; \(N\) — сила нормального давления.
Закон сохранения импульса
\(\sum\limits_{i = 1}^n {{p_i}} = const,\)
или для двух тел \((i = 2)\)
\({m_1}{v_1} + {m_2}{v_2} = {m_1}{u_1} + {m_2}{u_2},\)
где \({v_1}\) и \({v_2}\) — скорости тел в момент времени, принятый за начальный; \({u_1}\) и \({u_2}\) — скорости тех же тел в момент времени, принятый за конечный.
Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно,
\(T = \frac{{m{v^2}}}{2},\) или \(T = \frac{{{p^2}}}{{2m}}.\)
Потенциальная энергия:
а) упругодеформированной пружины
\(\prod = \frac{1}{2}k{x^2},\)
где \(k\) — жесткость пружины; \(x\) — абсолютная деформация;
б) гравитационного взаимодействия
\(\prod = - G\frac{{{m_1}{m_2}}}{r},\)
где \(G\) — гравитационная постоянная; \({m_1}\) и \({m_2}\) — массы взаимодействующих тел; \(r\) — расстояние между ними (тела рассматриваются как материальные точки);
в) тела, находящегося в однородном поле силы тяжести,
\(\prod = mgh,\)
где \(g\) — ускорение свободного падения; \(h\) — высота тела над уровнем, принятым за нулевой (формула справедлива при условии \(h \ll R\), где где \(R\) — радиус Земли).
Закон сохранения механической энергии
\(E = T + \prod = const.\)
Работа \(A\), совершаемая результирующей силой, определяется как мера изменения кинетической энергии материальной точки:
\(A = \Delta T = {T_2} - {T_1}.\)
Основное уравнение динамики вращательного движения относительно неподвижной оси \(z\)
\({M_z} = {J_z}\varepsilon ,\)
где \({M_z}\) — результирующий момент внешних сил относительно оси \(z\), действующих на тело; \(\varepsilon \) — угловое ускорение; \({J_z}\) — момент инерции относительно оси вращения.
Моменты инерции некоторых тел массой \(m\) относительно оси \(z\), проходящей через центр масс:
а) стержня длиной \(l\) относительно оси, перпендикулярной стержню,
\({J_z} = \frac{1}{{12}}m{l^2};\)
б) обруча (тонкостенного цилиндра) относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча (совпадающей с осью цилиндра),
\({J_z} = m{R^2},\)
где \(R\) — радиус обруча (цилиндра);
в) диска радиусом \(R\) относительно оси, перпендикулярной плоскости диска,
\({J_z} = \frac{1}{2}m{R^2}.\)
Проекция на ось \(z\) момента импульса тела, вращающегося относительно неподвижной оси \(z\),
\({L_z} = {J_z}\omega ,\)
где \(\omega \) — угловая скорость тела.
Закон сохранения момента импульса систем тел, вращающихся вокруг неподвижной оси \(z\),
\({J_z}\omega = const,\)
где \({J_z}\) — момент инерции системы тел относительно оси \(z\); \(\omega \) — угловая скорость вращения тел системы вокруг оси \(z\).
Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси \(z\),
\(T = \frac{1}{2}{J_z}{\omega ^2},\) или \(T = \frac{{L_z^2}}{{2{J_z}}}.\)