1. Физические основы классической механики

\(x = f(t),\)

где \(f(t)\)— некоторая функция времени.

Проекция средней скорости на ось \(x\)

\(\left\langle {{v_x}} \right\rangle  = \frac{{\Delta x}}{{\Delta t}}.\)

Средняя путевая скорость

\(\left\langle v \right\rangle  = \frac{{\Delta s}}{{\Delta t}},\)

где \(\Delta s\) — путь, пройденный точкой за интервал време­ни \(\Delta t\). Путь \(\Delta s\) в отличие от разности координат \(\Delta x = {x_2} - {x_1}\) не может убывать и принимать отрицательные значения, т. е. \(\Delta s \ge 0\).

Проекция мгновенной скорости на ось \(x\)

\({v_x} = \frac{{dx}}{{dt}}.\)

Проекция среднего ускорения на ось \(x\)

\(\left\langle {{a_x}} \right\rangle  = \frac{{\Delta {v_x}}}{{\Delta t}}.\)

Проекция мгновенного ускорения на ось \(x\)

\({a_x} = \frac{{d{v_x}}}{{dt}}.\)

Кинематическое уравнение движения материальной точки по окружности

\(\varphi  = f(t),r = R = const.\)

Модуль угловой скорости

\(\omega  = \frac{{d\varphi }}{{dt}}.\)

Модуль углового ускорения

\(\varepsilon  = \frac{{d\omega }}{{dt}}.\)

Связь между модулями линейных и угловых величин, характеризующих движение точки по окружности:

\(v = \omega R,\) \({a_\tau } = \varepsilon R,\) \({a_n} = {\omega ^2}R,\)

где \(v\) — модуль линейной скорости; \({a_\tau }\) и \({a_n}\) — модули тангенциального и нормального ускорений; \(\omega \) — модуль угловой скорости; \(\varepsilon \) — модуль углового ускорения; \(R\) — радиус окружности.

Модуль полного ускорения

\(a = \sqrt {a_n^2 + a_\tau ^2} ,\) или \(a = R\sqrt {{\varepsilon ^2} + {\omega ^4}} .\)

Угол между полным \(a\) и нормальным \({a_n}\) ускорениями

\(\alpha  = \arccos ({a_n}/a).\)

Кинематическое уравнение гармонических колебаний материальной точки

\(x = A\cos (\omega t + \varphi ),\)

где \(x\) — смещение; \(A\) — амплитуда колебаний; \(\omega \) — уг­ловая или циклическая частота; \(\varphi \) — начальная фаза.

Скорость и ускорение материальной точки, совершаю­щей гармонические колебания:

\(v =  - A\omega \sin (\omega t + \varphi );\) \(a =  - A{\omega ^2}\cos (\omega t + \varphi ).\)

Сложение гармонических колебаний одного направ­ления и одинаковой частоты:

а) амплитуда результирующего колебания

\(A = \sqrt {A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}\cos ({\varphi _2} - {\varphi _1})} ;\)

б) начальная фаза результирующего колебания

\(\varphi  = arctg\frac{{{A_1}\sin {\varphi _1} + {A_2}\sin {\varphi _2}}}{{{A_1}\cos {\varphi _1} + {A_2}\cos {\varphi _2}}}.\)

Траектория точки, участвующей в двух взаимно пер­пендикулярных колебаниях,

\(x = {A_1}\cos \omega t;\) \(y = {A_2}\cos (\omega t + \varphi ).\)

а) \(y = \frac{{{A_2}}}{{{A_1}}}x\), если разность фаз \(\varphi  = 0\);

б) \(y =  - \frac{{{A_2}}}{{{A_1}}}x\), если разность фаз \(\varphi  =  \pm \pi \);

в) \(\frac{{{x^2}}}{{A_1^2}} + \frac{{{y^2}}}{{A_2^2}} = 1\), если разность фаз \(\varphi  =  \pm \frac{\pi }{2}\).

Уравнение плоской бегущей волны

\(y = A\cos \omega \left( {t - \frac{x}{v}} \right),\)

где \(y\) — смещение любой из точек среды с координатой \(x\) в момент \(t\); \(v\) — скорость распространения колебаний в среде.

Связь разности фаз \(\Delta \varphi \) колебаний с расстоянием \(\Delta x\) между точками среды, отсчитанным в направлении рас­пространения колебаний;

\(\Delta \varphi  = \frac{{2\pi }}{\lambda }\Delta x,\)

где \(\lambda \) — длина волны.

Импульс материальной точки массой \(m\), движущейся со скоростью \(v\),

\(p = mv.\)

Второй закон Ньютона

\(dp = Fdt,\)

где \(F\) — результирующая сила, действующая на ма­териальную точку.

Силы, рассматриваемые в механике:

а) сила упругости

\(F =  - kx;\)

где \(k\) — коэффициент упругости (в случае пружины — жесткость); \(x\) — абсолютная деформация;

б) сила тяжести

\(P = mg;\)

в) сила гравитационного взаимодействия

\(F = G\frac{{{m_1}{m_2}}}{{{r^2}}},\)

где \(G\) — гравитационная постоянная; \({m_1}\) и \({m_2}\) — массы взаимодействующих тел; \(r\) — расстояние между телами (тела рассматриваются как материальные точки). В слу­чае гравитационного взаимодействия силу можно выра­зить также через напряженность \(G\) гравитационного поля:

\(F = mG;\)

г) сила трения (скольжения)

\(F = \mu N,\)

где \(\mu \) — коэффициент трения; \(N\) — сила нормального дав­ления.

Закон сохранения импульса

\(\sum\limits_{i = 1}^n {{p_i}}  = const,\)

или для двух тел \((i = 2)\)

\({m_1}{v_1} + {m_2}{v_2} = {m_1}{u_1} + {m_2}{u_2},\)

где \({v_1}\) и \({v_2}\) — скорости тел в момент времени, принятый за начальный; \({u_1}\) и \({u_2}\) — скорости тех же тел в момент времени, принятый за конечный.

Кинетическая энергия тела, движущегося поступа­тельно,

\(T = \frac{{m{v^2}}}{2},\) или \(T = \frac{{{p^2}}}{{2m}}.\)

Потенциальная энергия:

а) упругодеформированной пружины

\(\prod  = \frac{1}{2}k{x^2},\)

где \(k\) — жесткость пружины; \(x\) — абсолютная дефор­мация;

б) гравитационного взаимодействия

\(\prod  =  - G\frac{{{m_1}{m_2}}}{r},\)

где \(G\) — гравитационная постоянная; \({m_1}\) и \({m_2}\) — массы взаимодействующих тел; \(r\) — расстояние между ними (тела рассматриваются как материальные точки);

в) тела, находящегося в однородном поле силы тяжести,

\(\prod  = mgh,\)

где \(g\) — ускорение свободного падения; \(h\) — высота тела над уровнем, принятым за нулевой (формула справедли­ва при условии \(h \ll R\), где где \(R\) — радиус Земли).

Закон сохранения механической энергии

\(E = T + \prod  = const.\)

Работа \(A\), совершаемая результирующей силой, опре­деляется как мера изменения кинетической энергии ма­териальной точки:

\(A = \Delta T = {T_2} - {T_1}.\)

Основное уравнение динамики вращательного движе­ния относительно неподвижной оси \(z\)

\({M_z} = {J_z}\varepsilon ,\)

где \({M_z}\) — результирующий момент внешних сил относи­тельно оси \(z\), действующих на тело; \(\varepsilon \) — угловое ускоре­ние; \({J_z}\) — момент инерции относительно оси вращения.

Моменты инерции некоторых тел массой \(m\) относи­тельно оси \(z\), проходящей через центр масс:

а) стержня длиной \(l\) относительно оси, перпендику­лярной стержню,

\({J_z} = \frac{1}{{12}}m{l^2};\)

б) обруча (тонкостенного цилиндра) относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча (совпадающей с осью цилиндра),

\({J_z} = m{R^2},\)

где \(R\) — радиус обруча (цилиндра);

в) диска радиусом \(R\) относительно оси, перпендику­лярной плоскости диска,

\({J_z} = \frac{1}{2}m{R^2}.\)

Проекция на ось \(z\) момента импульса тела, вращаю­щегося относительно неподвижной оси \(z\),

\({L_z} = {J_z}\omega ,\)

где \(\omega \) — угловая скорость тела.

Закон сохранения момента импульса систем тел, вра­щающихся вокруг неподвижной оси \(z\),

\({J_z}\omega  = const,\)

где \({J_z}\) — момент инерции системы тел относительно оси \(z\); \(\omega \) — угловая скорость вращения тел системы во­круг оси \(z\).

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси \(z\),

\(T = \frac{1}{2}{J_z}{\omega ^2},\) или \(T = \frac{{L_z^2}}{{2{J_z}}}.\)