2. Молекулярная физика. Термодинамика

Количество вещества тела (системы)

\(\nu  = \frac{N}{{{N_A}}},\)

где \(N\) — число структурных элементов (молекул, атомов, ионов и т.п.), составляющих тело (систему); \({N_A}\) — по­стоянная Авогадро (\({N_A} = 6,02 \cdot {10^{23}}\) моль^-1).

Молярная масса вещества

\(M = \frac{m}{\nu },\)

где \(m\) — масса однородного тела (системы); \(\nu \) — коли­чество вещества этого тела.

Относительная молекулярная масса вещества

\({M_r} = \sum {n_i}{A_{r,i}},\)

где \({n_i}\) — число атомов \(i\)-гo химического элемента, входя­щих в состав молекулы данного вещества; \({A_{r,i}}\) — относи­тельная атомная масса этого элемента. Относительные атомные массы приводятся в таблице Д. И. Менделеева.

Связь молярной массы \(M\) с относительной молекуляр­ной массой вещества

\(M = {M_r}k,\)

где \(k = {10^{ - 3}}\) кг/моль.

Количество вещества смеси газов

\(\nu  = {\nu _1} + {\nu _2} + ... + {\nu _n} = \frac{{{N_1}}}{{{N_A}}} + \frac{{{N_2}}}{{{N_A}}} + ... + \frac{{{N_n}}}{{{N_A}}},\) или \(\nu  = \frac{{{m_1}}}{{{M_1}}} + \frac{{{m_2}}}{{{M_2}}} + ... + \frac{{{m_n}}}{{{M_n}}},\)

где \({\nu _i},{N_i},{m_i},{M_i}\) — соответственно количество вещества, число молекул, масса, молярная масса \(i\)-го компонента смеси.

Уравнение Менделеева — Клапейрона (уравнение со­стояния идеального газа)

\(pV = \frac{m}{M}RT = \nu RT,\)

где \(m\) — масса газа, \(M\) — молярная масса газа, \(R\) — мо­лярная газовая постоянная, \(\nu \) — количество вещества, \(T\) — термодинамическая температура.

Опытные газовые законы, являющиеся частными слу­чаями уравнения Менделеева — Клапейрона для изопро­цессов:

а) закон Бойля — Мариотта (изотермический процесс: \(T = const,m = const\))

\(pV = const,\)

или для двух состояний газа

\({p_1}{V_1} = {p_2}{V_2};\)

б) закон Гей-Люссака (изобарный процесс: \(p = const,m = const\))

\(\frac{V}{T} = const,\)

или для двух состояний

\(\frac{{{V_1}}}{{{T_1}}} = \frac{{{V_2}}}{{{T_2}}};\)

в) закон Шарля (изохорный процесс: \(\nu  = const,m = const\))

\(\frac{p}{T} = const,\)

или для двух состояний

\(\frac{{{p_1}}}{{{T_1}}} = \frac{{{p_2}}}{{{T_2}}};\)

г) объединенный газовый закон (\(m = const\))

\(\frac{{pV}}{T} = const,\) или \(\frac{{{p_1}{V_1}}}{{{T_1}}} = \frac{{{p_2}{V_2}}}{{{T_2}}},\)

где \({p_1},{V_1},{T_1}\) — давление, объем и температура газа в начальном состоянии; \({p_2},{V_2},{T_2}\) — те же величины в ко­нечном состоянии.

Закон Дальтона, определяющий давление смеси газов,

\(p = {p_1} + {p_2} + ... + {p_n},\)

где \({p_i}\) — парциальные давления компонентов смеси; \(n\) — число компонентов смеси.

Парциальным давлением называется давление газа, которое производил бы этот газ, если бы только он один находился в сосуде, занятом смесью.

Молярная масса смеси газов

\(M = \frac{{{m_1} + {m_2} + ... + {m_n}}}{{{\nu _1} + {\nu _2} + ... + {\nu _n}}},\)

где \({m_i}\) — масса \(i\)-го компонента смеси; \({\nu _i} = \frac{{{m_i}}}{{{M_i}}}\) — количество вещества \(i\)-го компонента смеси; \(n\) — число ком­понентов смеси.

Массовая доля \(i\)-го компонента смеси газа (в долях единицы или процентах)

\({\omega _i} = \frac{{{m_i}}}{m},\)

где \(m\) — масса смеси.

Концентрация молекул

\(n = \frac{N}{V} = \frac{{{N_A}\rho }}{M},\)

где \(N\) — число молекул, содержащихся в данной системе; \(\rho \) — плотность вещества; \(V\) — объем системы. Формула справедлива не только для газов, но и для любого агре­гатного состояния вещества.

Основное уравнение кинетической теории газов

\(p = \frac{2}{3}n\left\langle {{\varepsilon _n}} \right\rangle ,\)

где \(\left\langle {{\varepsilon _n}} \right\rangle \) — средняя кинетическая энергия поступатель­ного движения молекулы.

Средняя кинетическая энергия поступательного дви­жения молекулы

\(\left\langle {{\varepsilon _n}} \right\rangle  = \frac{3}{2}kT,\)

где \(k\) — постоянная Больцмана.

Средняя полная кинетическая энергия молекулы

\(\left\langle {{\varepsilon _i}} \right\rangle  = \frac{i}{2}kT,\)

где \(i\) — число степеней свободы молекулы.

Зависимость давления газа от концентрации молекул и температуры

\(p = nkT.\)

Скорость молекул:

\(\left\langle {{v_{KB}}} \right\rangle  = \sqrt {\frac{{3kT}}{{{m_1}}}}  = \sqrt {\frac{{3RT}}{M}} \) — средняя квадратичная;

\(\left\langle v \right\rangle  = \sqrt {\frac{{8kT}}{{\pi {m_1}}}}  = \sqrt {\frac{{8RT}}{{\pi M}}} \) — средняя арифметическая;

\({v_B} = \sqrt {\frac{{2kT}}{{{m_1}}}}  = \sqrt {\frac{{2RT}}{M}} \) — наиболее вероятная,

где \({m_i}\) — масса одной молекулы.

Относительная скорость молекулы

\(u = \frac{v}{{{v_B}}},\)

где \(v\) — скорость данной молекулы.

Удельные теплоемкости газа при постоянном объеме (\({c_V}\)) и постоянном давлении (\({c_p}\))

\({c_V} = \frac{i}{2}\frac{R}{M},\) \({c_p} = \frac{{i + 2}}{2}\frac{R}{M}.\)

Связь между удельной \(c\) и молярной \(C\) теплоемкос­тями

\(c = C/M,\) \(C = cM.\)

Уравнение Майера

\({C_p} - {C_V} = R.\)

Внутренняя энергия идеального газа

\(U = \frac{m}{M}\frac{i}{2}RT = \frac{m}{M}{C_V}T.\)

Первое начало термодинамики

\(Q = \Delta U + A,\)

где \(Q\) — теплота, сообщенная системе (газу); \(\Delta U\) — из­менение внутренней энергии системы; \(A\) — работа, совер­шенная системой против внешних сил.

Работа расширения газа:

\(A = \int\limits_{{V_1}}^{{V_2}} {pdV} \) в общем случае;

\(A = p({V_2} - {V_1})\) при изобарном процессе;

\(A = \frac{m}{M}RT\ln \frac{{{V_2}}}{{{V_1}}}\) при изотермическом процессе;

\(A =  - \Delta U =  - \frac{m}{M}{C_V}\Delta T,\) или \(A = \frac{{R{T_1}}}{{\gamma  - 1}}\frac{m}{M}\left( {1 - {{\left( {\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}} \right)}^{\gamma  - 1}}} \right)\)

при адиабатном процессе, где \(\gamma  = {c_p}/{c_V}\) — показатель адиабаты.

Уравнения Пуассона, связывающие параметры иде­ального газа при адиабатном процессе:

\(p{V^\gamma } = const,\) \(\frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} = {\left( {\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}} \right)^{\gamma  - 1}}\)

\(\frac{{{p_2}}}{{{p_1}}} = {\left( {\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}} \right)^\gamma },\) \(\frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} = {\left( {\frac{{{p_2}}}{{{p_1}}}} \right)^{(\gamma  - 1)/\gamma }}\)

Термический КПД цикла

\(\eta  = \frac{{{Q_1} - {Q_2}}}{{{Q_1}}},\)

где \({Q_1}\) — теплота, полученная рабочим телом от теплоотдатчика; \({Q_2}\) — теплота, переданная рабочим телом теплоприемнику.

Термический КПД цикла Карно

\(\eta  = \frac{{{Q_1} - {Q_2}}}{{{Q_1}}} = \frac{{{T_1} - {T_2}}}{{{T_1}}},\)

где \({T_1}\) и \({T_2}\) — термодинамические температуры теплоотдатчика и теплоприемника.

Коэффициент поверхностного натяжения

\(\alpha  = \frac{F}{l},\) или \(\alpha  = \frac{{\Delta E}}{{\Delta S}},\)

где \(F\) — сила поверхностного натяжения, действующая на контур \(l\), ограничивающий поверхность жидкости; \(\Delta E\) — изменение свободной энергии поверхностной плен­ки жидкости, связанное с изменением площади \(\Delta S\) поверхности этой пленки.

Формула Лапласа, выражающая давление \(p\), созда­ваемое сферической поверхностью жидкости:

\(p = \frac{{2\alpha }}{R},\)

где \(R\) — радиус сферической поверхности.

Высота подъема жидкости в капиллярной трубке

\(h = \frac{{2\alpha \cos \theta }}{{\rho gR}},\)

где \(\theta \) — краевой угол (\(\theta  = 0\) при полном смачивании сте­нок трубки жидкостью; \(\theta  = \pi \) при полном несмачивании); \(R\) — радиус канала трубки; \(\rho \) — плотность жидкости; \(g\) — ускорение свободного падения.

Высота подъема жидкости между двумя близкими и параллельными друг другу плоскостями

\(h = \frac{{2\alpha \cos \theta }}{{\rho gd}},\)

где \(d\) — расстояние между плоскостями.