Основы теории напряженного и деформированного состояний. Власов А.В. - 28 стр.

                                       ⎛ σ 2 − σ 3 ⎞ ⎫⎪
                                  2                  2
            ⎡      ⎛ σ + σ 3 ⎞⎤
     τ n2 + ⎢σ n − ⎜ 2       ⎟⎥       ≥⎜           ⎟
             ⎣     ⎝      2     ⎠⎦     ⎝     2     ⎠ ⎪
                                    2               2⎪
         2 ⎡        ⎛ σ 1 + σ 3 ⎞⎤     ⎛ σ1 − σ 3 ⎞ ⎪             (1.31)
      τ n + ⎢σ n − ⎜            ⎟⎥ ≤ ⎜            ⎟ ⎬
             ⎣      ⎝     2     ⎠ ⎦    ⎝     2    ⎠    ⎪
                                    2               2⎪
             ⎡      ⎛ σ + σ 2 ⎞⎤       ⎛σ −σ 2 ⎞
      τ n2 + ⎢σ n − ⎜ 1         ⎟⎥ ≥ ⎜ 1           ⎟ ⎪
             ⎣      ⎝     2     ⎠⎦     ⎝     2 ⎠ ⎪
                                                       ⎭
      Неравенства ограничивают область значений нормальных и
касательных напряжений в наклонной площадке, проходящей через
заданную точку в том случае, если заданы значения главных нормальных
напряжений. Легко заметить, что если заменить неравенства равенствами, то
мы получим уравнения окружностей в координатах σ n ,τ n .
      Напомним уравнение окружности, смещенной относительно начала
координат в точку x0 , y0 :
       ( x − x0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 = r 2
       Поэтому первое неравенство представляет собой геометрическое место
точек на плоскости в координатах σ n ,τ n , вне окружности, радиусом
r1 = (σ 2 − σ 3 ) / 2 , центр которой имеет координаты:
                              σ +σ3
       τ n = 0;          σn = 2
                                    2
       Второе неравенство – геометрическое место точек внутри окружности:
             σ −σ3                             σ +σ3
        r2 = 1           ;     τ n = 0;   σn = 1
                  2                              2
       Третье неравенство – геометрическое место точек вне окружности:
             σ −σ2                             σ +σ2
        r3 = 1           ;     τ n = 0;   σn = 1
                  2                              2
       Эти окружности называются главными окружностями Мора. Таким
образом, возможные значения нормальных σ n и касательных τ n напряжений
лежат внутри области, ограниченной тремя главными окружностями Мора.
Эта область вместе с ограничивающими ее окружностями называется
круговой диаграммой напряженного состояния Мора в точке тела (Рис.
1.10).
       Точки P1, P2, P3 пересечения главных окружностей диаграммы Мора с
осью абсцисс носят названия полюсов.
       Поскольку знак касательных напряжений по диаграмме Мора получить
нельзя, то обычно ограничиваются верхней ее половиной.
       Рассмотрим некоторые свойства диаграммы Мора.
       1 свойство
       Окружности 1, 2, 3, ограничивающие круговую диаграмму, являются
геометрическим местом точек, координаты которых дают величины


                                                                      28