Основы теории напряженного и деформированного состояний. Власов А.В. - 31 стр.

Точку пересечения линии P1Q2 с окружностью 3 обозначим Q3 . Докажем,
что точки Q2 и Q3 лежат на одной окружности с центром в точке C1 и
определим радиус этой окружности.
     Очевидно:
       (C1Q2 )2 = (C1Q2 )σ2 + (C1Q2 )τ2
      Поскольку точка Q2 лежит на окружности, то угол ∠P1Q2 P3 - прямой,
тогда:
                                           (          )
       (C1Q2 )τ = (σ 1 − σ 3 )sin α cosα = σ 1 − σ 3 cos 2α = (C2Q2 )cos 2α
                                                2
      Попутно можно считать доказанным, что угол ∠P1C 2Q2 = 2α

       (C1Q2 )σ = σ 1 − σ 2 + σ 3 − (σ 1 − σ 3 )sin 2 α = (σ 1 − σ 3 )cos 2 α − σ 2 − σ 3
                              2                                                     2
         (C1Q2 )2 = (C1Q2 )σ2 + (C1Q2 )τ2 =
                                                                       2
                                       ⎡                     σ −σ3 ⎤
        = (σ 1 − σ 3 )
                     2
                         sin α cos α + ⎢(σ 1 − σ 3 )cos 2 α − 2
                           2       2
                                                                   ⎥ =
                                       ⎣                        2  ⎦
        = (σ 1 − σ 3 )2 sin 2 α cos 2 α + (σ 1 − σ 3 )2 cos 4 α −
                                                         2
                                          ⎛σ −σ3 ⎞
        − (σ 2 − σ 3 )(σ 1 − σ 3 )cos α + ⎜ 2
                                       2
                                                 ⎟ =
                                          ⎝   2  ⎠
                                                                           2
                                                                 ⎛σ −σ3 ⎞
        = (σ 1 − σ 3 )
                     2
                         cos α − (σ 2 − σ 3 )(σ 1 − σ 3 )cos α + ⎜ 2
                            2                                2
                                                                        ⎟ =
                                                                 ⎝   2  ⎠
                                                        2
                                          ⎛σ −σ3 ⎞
        = (σ 1 − σ 3 )(σ 1 − σ 2 )cos α + ⎜ 2
                                       2
                                                   ⎟
                                          ⎝   2    ⎠
      Сравнивая полученное выражение с выражением для радиуса
семейства окружностей r1 можно сделать вывод, что n1 = cos α . Поэтому
угол α = α1 - угол между нормалью к площадке и осью 1 .
      Проведя аналогичные преобразования можно показать, что
C1Q2 = C1Q3 . Таким образом утверждение, что точки Q2 и Q3 лежат на
одной окружности можно считать доказанным.
      Аналогично можно доказать свойства прямых, проведенных под
углами α 2 ,α 3 из полюсов P2 , P3 ( α 2 ,α 3 - углы между нормалями к площадке
и осями 2,3 ). Из полученных свойств диаграммы Мора следует графическое
построение, дающее возможность определить нормальные и касательные
напряжения в наклонной площадке по значениям направляющих косинусов
(Рис. 1.12).




                                                                                      31