Теория алгоритмов. Зюзысов В.М. - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

континуумом, и есть теории, в которых таких множеств нет). Можно спросить, «а что на
самом деле?». Каков «подлинный мир множеств»? Никакого «подлинного мира
множеств», не зависящего от аксиом, с помощью которых он исследуется, разумеется, не
существует. Математика даёт ответы на вопросы о реальном мире только после того, как
мы выбрали,
какой тип математики мы используем в данный момент.
… почему математики не спотыкаются да и не
спотыкались на протяжении нескольких веков
ни об один из этих недоказуемых постулатов,
почему и после Гёделя, то есть в настоящее
время, математика способна идти своей
дорогой – в любом направлении, куда ей
заблагорассудится?
… если математическая
теорема может быть
сформулирована в границах той же «шкалы»,
что и аксиомы, она принадлежит обычному
миру математиков и будет иметь либо
доказательство, либо опровержение. Но если
ее изложение требует иного масштаба, тогда
возникает опасность, что она – часть
глубинного мира бесконеч<ных> … величин,
но в любом случае латентного, того, что
невозможно ни
доказать, ни опровергнуть.
Гильермо Мартинес
Незаметные убийства
4.3 Теорема Гудстейна
Хотя неразрешимое самоссылочное утверждение Гёделя, несомненно, также
говорит о каком-то свойстве натуральных чисел, математикам хотелось бы также
обнаружить более «естественное» верное, но недоказуемое в арифметике Пеано
утверждение. Одно из таких утверждений есть теорема Гудстейна.
Наследственное представление
Наследственным представлением натурального числа
называется его представление в виде суммы степеней с основанием
b,
причем показатели степени также представляются в виде суммы
степеней числа b и т. д., пока процесс не остановится.
Например, наследственное представление 266 по основанию 2
есть
= 2
8
+ 2
3
+ 2 266
=
222
12
)2(
12
++
+
+
Лъюис Гудстейн
Последовательность Гудстейна
Для данного наследственного представления числа n по основанию b пусть F
b
(n) –
неотрицательное целое число равное результату синтаксической замены в представлении
n каждого b на b+1 (т. е. F
b
есть оператор замены b на b+1).
Так как 266 =
, то замена основания 2 на 3 дает
222
12
)2(
12
++
+
+
F
2
(266) =
333
13
)3(
13
++
+
+
.

Страницы