Механика твердого тела - 50 стр.

50                                                                         Ìåõàíèêà
(ðèñ. 3.14). Öåíòðàëüíûé ýëëèïñîèä èíåðöèè òàêîãî òåëà ÿâëÿåòñÿ ýëëèïñîè-
äîì âðàùåíèÿ ñ îñüþ ñèììåòðèè Oz.
        Ñèñòåìà êîîðäèíàò x0y0z0 íà ðèñ. 3.14 – ëàáîðàòîðíàÿ, ñèñòåìà xyz
æåñòêî ñâÿçàíà ñ òåëîì, ïðè÷åì îñè Ox, Oy è Oz – ãëàâíûå öåíòðàëüíûå îñè
                                         èíåðöèè òåëà. Ïîñêîëüêó ýòî òåëî
                                         âðàùåíèÿ, òî ãëàâíûå îñåâûå ìî-
          z            z0                          ìåíòû èíåðöèè J x è J y ðàâíû

                                                   ìåæäó ñîáîé: J x = J y .
                                                          Ñóììàðíûé ìîìåíò ñèë òÿ-
                                                   æåñòè îòíîñèòåëüíî òî÷êè çàêðåï-
                  k                                ëåíèÿ (öåíòðà ìàññ) ðàâåí íóëþ,
                                      y            èíûõ ñèë, êðîìå ñèë òÿæåñòè, íåò,
                                                   ïîýòîìó óðàâíåíèå ìîìåíòîâ (3.2)
                                  j                èìååò âèä
              O                                                  dL
                                                                    = 0,          (3.42)
                                                                 dt
                                          y0       îòêóäà

x0                i
                                                                L = const ,     (3.43)
                                                   òî åñòü ìîìåíò èìïóëüñà ðàñêðó÷åí-
                                                   íîãî è ïðåäîñòàâëåííîãî ñàìîìó
                                                   ñåáå òåëà îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì ïî
           x                                       âåëè÷èíå è íàïðàâëåíèþ.
                  Ðèñ. 3.14                                Çàìå÷àíèå. Åñëè èññëåäóå-
                                                   ìîå òåëî – øàð, òî Jz = J x = J y , è
öåíòðàëüíûé ýëëèïñîèä èíåðöèè òðàíñôîðìèðóåòñÿ â ñôåðó. Ýòî îçíà÷àåò.
÷òî ëþáàÿ öåíòðàëüíàÿ îñü âðàùåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ãëàâíîé îñüþ èíåðöèè øàðà,
òî åñòü èìååò ìåñòî ïðîñòîå ñîîòíîøåíèå L = Jw, ãäå J – ìîìåíò èíåðöèè
îòíîñèòåëüíî öåíòðàëüíîé îñè, è ïðè L = const ïîëó÷àåì w = const. Îñü
âðàùåíèÿ ñîâïàäàåò ïî íàïðàâëåíèþ ñ L è ñîõðàíÿåò ñâîþ îðèåíòàöèþ â
ïðîñòðàíñòâå.
        Òåïåðü äîïóñòèì, ÷òî J z îòëè÷íî îò J x è J y , êàê, íàïðèìåð, íà ðèñ. 3.14.
 ýòîì ñëó÷àå ÷èñòîå âðàùåíèå èìååò ìåñòî òîëüêî òîãäà, êîãäà îñü âðàùåíèÿ
ëèáî ñîâïàäàåò ñ îñüþ ñèììåòðèè òåëà, ëèáî ïåðïåíäèêóëÿðíà ê íåé.
        Îáùèé ñëó÷àé áîëåå ñëîæåí; îáû÷íî åãî ðàññìàòðèâàþò ñ ïîìîùüþ
äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé Ýéëåðà. Äåëî çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî åñëè â
óðàâíåíèè (3.42) âåêòîð L ñïðîåêòèðîâàòü íà îñè ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìû x0y0z0,
òî ñêàëÿðíûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ áóäóò âåñüìà ñëîæ-
íûìè, ïîñêîëüêó ìîìåíòû èíåðöèè îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíûõ îñåé áóäóò
ôóíêöèÿìè âðåìåíè. Ïîýòîìó ãîðàçäî óäîáíåå ðàññìàòðèâàòü L â ïðîåêöèÿõ
íà îñè ñèñòåìû xyz, æåñòêî ñâÿçàííîé ñ òâåðäûì òåëîì.
        Ïóñòü i, j, k – îðòû ñèñòåìû xyz, æåñòêî ñâÿçàííîé ñ òâåðäûì òåëîì
(ðèñ. 3.14). Òîãäà (3.42) ïðèíèìàåò âèä
                    d
                              (
                       L i + L y j+ L z k = 0 ,
                    dt x
                                               )                  (3.44)

ãäå íå òîëüêî ïðîåêöèè Lx, Ly, Lz, íî è åäèíè÷íûå îðòû i, j, k ÿâëÿþòñÿ
ôóíêöèÿìè âðåìåíè. Ïîýòîìó èç (3.44) ñëåäóåò