Механика твердого тела. Алешкевич В.А - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

13
Ëåêöèÿ 1
Èç (1.16) ìîæíî ñäåëàòü âûâîä,
÷òî â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè äîëæíà
ñóùåñòâîâàòü òàêàÿ òî÷êà M, ñêîðîñòü
êîòîðîé â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå XYZ
ðàâíà íóëþ - äëÿ ýòîé òî÷êè
vr
0
=− ×
′
w
(1.17)
(ðèñ. 1.13). Çàìåòèì, ÷òî ýòà òî÷êà íå
îáÿçàòåëüíî äîëæíà ïðèíàäëåæàòü òåëó,
òî åñòü ìîæåò íàõîäèòüñÿ è âíå åãî. Òà-
êèì îáðàçîì, ïëîñêîå äâèæåíèå òâåð-
äîãî òåëà â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè
ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ÷èñòîå âðàùå-
íèå âîêðóã îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ýòó òî÷êó M  òàêàÿ îñü íàçûâàåòñÿ îáû÷-
íî ìãíîâåííîé îñüþ âðàùåíèÿ.  ÷àñòíîñòè, äëÿ êîëåñà, êàòÿùåãîñÿ ïî ïëîñ-
êîñòè áåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ (ðèñ. 1.10), ìãíîâåííàÿ îñü âðàùåíèÿ ïðîõîäèò
÷åðåç òî÷êó Ì ñîïðèêîñíîâåíèÿ êîëåñà ñ ïëîñêîñòüþ.
Ñóùåñòâåííî, ÷òî â ðàçíûå ìîìåíòû âðåìåíè ìãíîâåííàÿ îñü âðàùå-
íèÿ ïðîõîäèò ÷åðåç ðàçíûå òî÷êè òâåðäîãî òåëà è ÷åðåç ðàçíûå òî÷êè ëàáîðà-
òîðíîé ñèñòåìû XYZ, ñîõðàíÿÿ, êîíå÷íî, ñâîþ îðèåíòàöèþ â ïðîñòðàíñòâå.
Äëÿ òîãî, ÷òîáû îïðåäåëèòü ïîëîæåíèå ìãíîâåííîé îñè âðàùåíèÿ, íå-
îáõîäèìî çíàòü ñêîðîñòè êàêèõ-ëèáî äâóõ òî÷åê òâåðäîãî òåëà. Òàê, íà ðèñ. 1.14
ïîêàçàíî ïîëîæåíèå ìãíîâåííîé îñè âðàùåíèÿ (òî÷êà Ì) äëÿ öèëèíäðà,
çàæàòîãî ìåæäó äâóìÿ ïàðàëëåëüíûìè ðåéêàìè, êîòîðûå äâèæóòñÿ â îäíó è
òó æå ñòîðîíó ñ ðàçíûìè ñêîðîñòÿìè v
1
è v
2
.
 ñèòóàöèè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 1.15, ñòåðæåíü AB îïèðàåòñÿ íà
òî÷êó Ñ è äâèæåòñÿ â ïëîñêîñòè ÷åðòåæà òàê, ÷òî åãî êîíåö B âñå âðåìÿ
íàõîäèòñÿ íà ïîëóîêðóæíîñòè CBD. Ïðè ýòîì ìãíîâåííàÿ îñü âðàùåíèÿ ñòåð-
æíÿ (òî÷êà Ì) íàõîäèòñÿ íà âåðõíåé ïîëóîêðóæíîñòè CMD è ïðè äâèæåíèè
òî÷êè B âïðàâî ïåðåìåùàåòñÿ ïî äóãå ýòîé ïîëóîêðóæíîñòè âëåâî.
 ñëó÷àå, ïîêàçàííîì íà ðèñ. 1.16, ñòåðæåíü, îïèðàþùèéñÿ îäíèì èç
ñâîèõ êîíöîâ íà ãëàäêóþ ãîðèçîíòàëüíóþ ïëîñêîñòü, íà÷èíàåò ïàäàòü èç âåð-
òèêàëüíîãî ïîëîæåíèÿ. Ïðè ýòîì öåíòð ìàññ ñòåðæíÿ îïóñêàåòñÿ, îñòàâàÿñü
X
Y
Z
V
V
0
0
r´
O
M
Ðèñ. 1.13
V
V
M
1
2
Ðèñ. 1.14
V
V
M
A
B
D
C
B
C
Ðèñ. 1.15
Ëåêöèÿ 1                                                                      13
       Èç (1.16) ìîæíî ñäåëàòü âûâîä,                           V0
÷òî â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè äîëæíà
ñóùåñòâîâàòü òàêàÿ òî÷êà M, ñêîðîñòü                V0
êîòîðîé â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå XYZ           Z
ðàâíà íóëþ - äëÿ ýòîé òî÷êè                                               M
               v 0 = −w × r ′    (1.17)                              r´
(ðèñ. 1.13). Çàìåòèì, ÷òî ýòà òî÷êà íå
îáÿçàòåëüíî äîëæíà ïðèíàäëåæàòü òåëó,
òî åñòü ìîæåò íàõîäèòüñÿ è âíå åãî. Òà-
                                                     Y        O
êèì îáðàçîì, ïëîñêîå äâèæåíèå òâåð-      X
äîãî òåëà â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè                      Ðèñ. 1.13
ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ÷èñòîå âðàùå-
íèå âîêðóã îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ýòó òî÷êó M – òàêàÿ îñü íàçûâàåòñÿ îáû÷-
íî ìãíîâåííîé îñüþ âðàùåíèÿ.  ÷àñòíîñòè, äëÿ êîëåñà, êàòÿùåãîñÿ ïî ïëîñ-
êîñòè áåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ (ðèñ. 1.10), ìãíîâåííàÿ îñü âðàùåíèÿ ïðîõîäèò
÷åðåç òî÷êó Ì ñîïðèêîñíîâåíèÿ êîëåñà ñ ïëîñêîñòüþ.
        Ñóùåñòâåííî, ÷òî â ðàçíûå ìîìåíòû âðåìåíè ìãíîâåííàÿ îñü âðàùå-
íèÿ ïðîõîäèò ÷åðåç ðàçíûå òî÷êè òâåðäîãî òåëà è ÷åðåç ðàçíûå òî÷êè ëàáîðà-
òîðíîé ñèñòåìû XYZ, ñîõðàíÿÿ, êîíå÷íî, ñâîþ îðèåíòàöèþ â ïðîñòðàíñòâå.
        Äëÿ òîãî, ÷òîáû îïðåäåëèòü ïîëîæåíèå ìãíîâåííîé îñè âðàùåíèÿ, íå-
îáõîäèìî çíàòü ñêîðîñòè êàêèõ-ëèáî äâóõ òî÷åê òâåðäîãî òåëà. Òàê, íà ðèñ. 1.14
ïîêàçàíî ïîëîæåíèå ìãíîâåííîé îñè âðàùåíèÿ (òî÷êà Ì) äëÿ öèëèíäðà,



                         V1
                                   A                 M

                                                                     D
                    V2
                                         C          VC
                                                                          VB
                                                         B
        M
            Ðèñ. 1.14                               Ðèñ. 1.15

çàæàòîãî ìåæäó äâóìÿ ïàðàëëåëüíûìè ðåéêàìè, êîòîðûå äâèæóòñÿ â îäíó è
òó æå ñòîðîíó ñ ðàçíûìè ñêîðîñòÿìè v1 è v2.
       Â ñèòóàöèè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 1.15, ñòåðæåíü AB îïèðàåòñÿ íà
òî÷êó Ñ è äâèæåòñÿ â ïëîñêîñòè ÷åðòåæà òàê, ÷òî åãî êîíåö B âñå âðåìÿ
íàõîäèòñÿ íà ïîëóîêðóæíîñòè CBD. Ïðè ýòîì ìãíîâåííàÿ îñü âðàùåíèÿ ñòåð-
æíÿ (òî÷êà Ì) íàõîäèòñÿ íà âåðõíåé ïîëóîêðóæíîñòè CMD è ïðè äâèæåíèè
òî÷êè B âïðàâî ïåðåìåùàåòñÿ ïî äóãå ýòîé ïîëóîêðóæíîñòè âëåâî.
        ñëó÷àå, ïîêàçàííîì íà ðèñ. 1.16, ñòåðæåíü, îïèðàþùèéñÿ îäíèì èç
ñâîèõ êîíöîâ íà ãëàäêóþ ãîðèçîíòàëüíóþ ïëîñêîñòü, íà÷èíàåò ïàäàòü èç âåð-
òèêàëüíîãî ïîëîæåíèÿ. Ïðè ýòîì öåíòð ìàññ ñòåðæíÿ îïóñêàåòñÿ, îñòàâàÿñü

Страницы