Механика твердого тела. Алешкевич В.А - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

6 Ìåõàíèêà
òî îí ïðèîáðåòàåò åùå îäíó ñòåïåíü ñâîáîäû  ê êîîðäèíàòå x äîáàâëÿåòñÿ
óãîë ϕ ïîâîðîòà äèñêà âîêðóã îñè. Åñëè îñü ñ äèñêîì çàæàòà â ðàìêå, êîòîðàÿ
ìîæåò ïîâîðà÷èâàòüñÿ âîêðóã âåðòèêàëüíîé îñè (ðèñ. 1.1â), òî ÷èñëî ñòåïå-
íåé ñâîáîäû ñòàíîâèòñÿ ðàâíûì òðåì  ê x è ϕ äîáàâëÿåòñÿ óãîë θ ïîâîðîòà
ðàìêè.
Êîðîáêà, êîòîðàÿ ìîæåò ïåðåìåùàòüñÿ ïî ïîâåðõíîñòè ñòîëà (ðèñ.
1.2), òàêæå îáëàäàåò òðåìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû  äëÿ îäíîçíà÷íîãî îïðåäåëå-
íèÿ åå ïîëîæåíèÿ ìîæíî çàäàòü, íàïðèìåð, êîîðäèíàòû x, y åå öåíòðà è
óãîë ϕ ìåæäó îäíèì èç ðåáåð êîðîáêè
è êðàåì ñòîëà.
Êàêîâî æå ÷èñëî ñòåïåíåé ñâî-
áîäû òâåðäîãî òåëà â ñàìîì îáùåì ñëó-
÷àå?
Äëÿ òîãî, ÷òîáû îäíîçíà÷íî
çàäàòü ïîëîæåíèå òâåðäîãî òåëà â ïðî-
ñòðàíñòâå, íàäî çàôèêñèðîâàòü òðè åãî
òî÷êè, íå ëåæàùèå íà îäíîé ïðÿìîé.
Îäíà ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà èìååò òðè
ñòåïåíè ñâîáîäû (òðè äåêàðòîâû êî-
îðäèíàòû x, y, z). Äâå ìàòåðèàëüíûå
òî÷êè, æåñòêî ñâÿçàííûå ìåæäó ñî-
áîé, èìåþò 3+3  1=5 ñòåïåíåé ñâîáîäû.  ýòîì ñëó÷àå êîîðäèíàòû òî÷åê x
1
,
y
1
, z
1
è x
2
, y
2
, z
2
íå ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè âåëè÷èíàìè, òàê êàê èìååòñÿ
óðàâíåíèå ñâÿçè
()()()
l
2
21
2
21
2
21
2
=− +− +−
xx yy zz,
(1.1)
ãäå
l
 ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè.
Òàêèì îáðàçîì, â îáùåì ñëó÷àå äëÿ òâåðäîãî òåëà ïîëó÷àåì
3+3+33=6ñòåïåíåé ñâîáîäû. Ïðè ýòîì èìåþòñÿ òðè óðàâíåíèÿ ñâÿçè,
âûðàæàþùèå ïîñòîÿíñòâî ðàññòîÿíèé ìåæäó êàæäîé ïàðîé òî÷åê.
Øåñòü ïàðàìåòðîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ øåñòè ñòåïåíÿì ñâîáîäû òâåð-
äîãî òåëà, ìîæíî çàäàâàòü ïî-ðàçíîìó. Â äàëüíåéøåì ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ
òðåìÿ ðàçëè÷íûìè äåêàðòîâûìè ñèñòåìàìè êîîðäèíàò:
1. Ëàáîðàòîðíàÿ ñèñòåìà XYZ.
2. Ñèñòåìà x
0
y
0
z
0
, íà÷àëî êîòîðîé ñâÿçàíî ñ íåêîòîðîé òî÷êîé O òâåð-
äîãî òåëà, à îñè îñòàþòñÿ ïàðàëëåëüíûìè îñÿì ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìû XYZ,
a
áâ
Ðèñ.1.1
x
j
y
0
Ðèñ.1.2
6                                                                          Ìåõàíèêà




                a                               á                                  â

                                      Ðèñ.1.1

òî îí ïðèîáðåòàåò åùå îäíó ñòåïåíü ñâîáîäû – ê êîîðäèíàòå x äîáàâëÿåòñÿ
óãîë ϕ ïîâîðîòà äèñêà âîêðóã îñè. Åñëè îñü ñ äèñêîì çàæàòà â ðàìêå, êîòîðàÿ
ìîæåò ïîâîðà÷èâàòüñÿ âîêðóã âåðòèêàëüíîé îñè (ðèñ. 1.1â), òî ÷èñëî ñòåïå-
íåé ñâîáîäû ñòàíîâèòñÿ ðàâíûì òðåì – ê x è ϕ äîáàâëÿåòñÿ óãîë θ ïîâîðîòà
ðàìêè.
        Êîðîáêà, êîòîðàÿ ìîæåò ïåðåìåùàòüñÿ ïî ïîâåðõíîñòè ñòîëà (ðèñ.
1.2), òàêæå îáëàäàåò òðåìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû – äëÿ îäíîçíà÷íîãî îïðåäåëå-
íèÿ åå ïîëîæåíèÿ ìîæíî çàäàòü, íàïðèìåð, êîîðäèíàòû x, y åå öåíòðà è
                                       óãîë ϕ ìåæäó îäíèì èç ðåáåð êîðîáêè
               y                       è êðàåì ñòîëà.
                                               Êàêîâî æå ÷èñëî ñòåïåíåé ñâî-
                                       áîäû òâåðäîãî òåëà â ñàìîì îáùåì ñëó-
                                       ÷àå?
                                               Äëÿ òîãî, ÷òîáû îäíîçíà÷íî
0                                      çàäàòü ïîëîæåíèå  òâåðäîãî òåëà â ïðî-
                     j         x       ñòðàíñòâå, íàäî çàôèêñèðîâàòü òðè åãî
                                       òî÷êè, íå ëåæàùèå íà îäíîé ïðÿìîé.
                                       Îäíà ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà èìååò òðè
                                       ñòåïåíè ñâîáîäû (òðè äåêàðòîâû êî-
                  Ðèñ.1.2
                                       îðäèíàòû x, y, z). Äâå ìàòåðèàëüíûå
                                       òî÷êè, æåñòêî ñâÿçàííûå ìåæäó ñî-
áîé, èìåþò 3+3 – 1=5 ñòåïåíåé ñâîáîäû.  ýòîì ñëó÷àå êîîðäèíàòû òî÷åê x1,
y1, z1 è x2, y2, z2 íå ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè âåëè÷èíàìè, òàê êàê èìååòñÿ
óðàâíåíèå ñâÿçè

                          l 2 = (x 2 − x1 ) + (y 2 − y1 ) + (z2 − z1 ) ,
                                         2              2             2
                                                                                (1.1)
ãäå l – ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè.
         Òàêèì îáðàçîì, â îáùåì ñëó÷àå äëÿ òâåðäîãî òåëà ïîëó÷àåì
3 + 3 + 3 – 3 = 6 ñòåïåíåé ñâîáîäû. Ïðè ýòîì èìåþòñÿ òðè óðàâíåíèÿ ñâÿçè,
âûðàæàþùèå ïîñòîÿíñòâî ðàññòîÿíèé ìåæäó êàæäîé ïàðîé òî÷åê.
         Øåñòü ïàðàìåòðîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ øåñòè ñòåïåíÿì ñâîáîäû òâåð-
äîãî òåëà, ìîæíî çàäàâàòü ïî-ðàçíîìó. Â äàëüíåéøåì ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ
òðåìÿ ðàçëè÷íûìè äåêàðòîâûìè ñèñòåìàìè êîîðäèíàò:
         1. Ëàáîðàòîðíàÿ ñèñòåìà XYZ.
         2. Ñèñòåìà x0y0z0, íà÷àëî êîòîðîé ñâÿçàíî ñ íåêîòîðîé òî÷êîé O òâåð-
äîãî òåëà, à îñè îñòàþòñÿ ïàðàëëåëüíûìè îñÿì ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìû XYZ,

Страницы