Практикум по курсу "Объектно-ориентированное программирование" на языке C#. Андрианова А.А - 25 стр.

                                2. Методы решения уравнений

      Решим следующую математическую задачу. Требуется найти корень
уравнения вида f(x) = 0 на отрезке [a, b] с точностью  (точность по
функционалу), т.е. нужно найти точку x  [a, b], для которой выполняется
неравенство | f (x)| ≤ .
      Для решения этой задачи существует целый ряд различных методов,
самыми известными из которых являются метод деления отрезка пополам,
метод хорд и метод касательных.
      Для применения этих методов необходимо, чтобы:
      1) функция f (x) являлась непрерывной,
      2) значения функции f(x) на концах отрезка имели противоположные
знаки (тогда гарантируется, что корень на отрезке существует);
      3) для метода касательных обязательно требуется, чтобы функция f(x)
была выпуклой или вогнутой на отрезке.
      Все три метода нахождения корня основываются на единой процедуре.
      1. Некоторым образом выбирается точка с  [a, b].
      2. Выбирается один из отрезков [a, с] или [с, b], на котором далее будет
производиться поиск корня. Должен быть выбран тот из отрезков, на
котором в точках-концах функция принимает значения различных знаков:
             если f (a)* f (c) < 0, то b = с, иначе a = с .
      3. Если на новом отрезке | f (a)| ≤ , то a – приближенное значение
корня. Если же | f (b)| ≤ , то b – приближенное значение корня.
      Отличия метода деления отрезка пополам, метода хорд и метода
касательных заключаются в реализации пункта 1 указанной процедуры. Так,
метод деления отрезка пополам выбирает в качестве точки c середину
отрезка [a, b], метод хорд – точку пересечения отрезка, соединяющего точки
(a, f(a)) и (b, f(b)), с осью абсцисс, метод касательных – точку пересечения
одной из касательных к графику функции f(x), построенных в точках a и b, с
осью абсцисс (выбирается та из точек пересечения, которая принадлежит
отрезку [a, b]).
      На рис. 2.1 изображены варианты выбора следующего отрезка, на
котором будет осуществлен поиск корня, когда точка c определена методом
хорд. На рис. 2.1 а приведено изменение левого конца отрезка (на следующей
итерации точку a перенесем в точку x), на рис. 2.1 б – правого (точку b
перенесем в точку x).

                                                                           24