Высшая математика (часть 2). Анкилов А.В - 124 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

124
найдется число
0M , такое, что M
n
для всех ... ,2 ,1
n . Но тогда MS
nn
, т. е.
последовательность

n
S ограничена сверху. Кроме того, последовательность
n
S
возрастает, так как 0
n
u . По теореме о пределе монотонной ограниченной
последовательности существует SS
n
n
lim , т. е. ряд
1n
n
u сходится.
2.
По условию ряд
1n
n
u расходится. Докажем методом от противного, что ряд
1n
n
тоже расходящийся. Допустим, что ряд
1n
n
сходится. Тогда по доказанному выше ряд
1n
n
u тоже будет сходится, а это противоречит условию теоремы.
Замечание. Из третьего свойства сходящихся рядов следует, что теорема справедлива
и в том случае, когда неравенства
nn
u
выполняются, начиная с некоторого номера
1 Nn .
Пример 5.1.5. Рассмотрим ряд «обратных квадратов»
1
2
1
n
n
. Сравним его со
сходящимся рядом
1
)1(
1
n
nn
(см. пример 5.1.1). Из неравенства
)1(
21
2
nn
n
и
теоремы 5.1.2 следует сходимость ряда «обратных квадратов».
Во многих случаях более удобной для применения является следующая теорема,
вытекающая из предыдущей.
Теорема 5.1.3. (Предельный признак сравнения). Пусть даны два знакоположительных
ряда
1n
n
u и
1n
n
и пусть 
n
n
n
u
lim0 . Тогда данные ряды либо оба сходятся, либо оба
расходятся.
Пример 5.1.6. Исследуем на сходимость ряд
1
3
12
n
n
n
. Сравним данный ряд со
сходящимся рядом из «обратных квадратов»
1
2
1
n
n
. Выбор такого ряда для сравнения
основан на том, что
n
nn
n
при
2
1
~
12
23
.
Так как
0
2
1
12
1
lim
12
lim
1
:
12
limlim
33
3
23
nn
n
nn
n
u
nnn
n
n
n
,
то по теореме 5.1.3 ряд
1
3
12
n
n
n
сходится.
Трудность применения признаков сравнения заключается в том, что для данного ряда
нужно для сравнения подбирать другой ряд, о котором известно, сходится он или
расходится. Обычно в качестве «эталонных» рядов, с которыми производят сравнение,
выбирают следующие ряды:

Страницы