Высшая математика (часть 2). Анкилов А.В - 166 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

166
6.3. Линейные дифференциальные уравнения
6.3.1. Основные понятия
Линейным однородным дифференциальным уравнением (д. у.) n-го порядка называется
уравнение вида
0)(...)()()(
0
)2(
2
)1(
1
)(
yxpyxpyxpyxp
n
n
n
n
n
n
, (6.11)
где )(...,),(),(
01
xpxpxp
nn
– функции, непрерывные на интервале 0)(),,( xpba
n
.
Например, уравнение 02'3''
yyy является линейным однородным уравнением
второго порядка, причем n = 2,
1)(
2
xp , 3)(
1
xp , 2)(
0
xp . Уравнение
0''''''
2
yxyyxy является линейным однородным при n = 3, 1)(
3
xp ,
2
2
)( xxp ,
xxp )(
1
, 1)(
0
xp .
Теорема 6.3.1. Если функции
)(
11
xyy
и
)(
22
xyy
есть решения уравнения (6.11), то
функция
2211
yCyC также является решением уравнения (6.11) при любых значениях
констант
1
C и
2
C .
Пусть имеем систему из
n функций )(...,),(),(
21
xyxyxy
n
, определенных на
интервале
),( ba
. Функции )(...,),(),(
21
xyxyxy
n
называются линейно зависимыми на
),( ba
,
если существуют числа
n
CCC ...,,,
21
, не все равные
0
, такие, что для всех ),( bax
справедливо тождество 0)(...)()(
2211
xyCxyCxyC
nn
. Если же это тождество
выполняется только при
n
CCC
...
21
=0, то функции
)(...,),(),(
21
xyxyxy
n
называются линейно независимыми на ),( ba .
Пример 6.3.1. Доказать, что функции
xx
22
sin,cos,1
образуют линейно зависимую
систему на интервале );(
.
Решение. Действительно, равенство 0sincos1
2
3
2
21
xCxCC выполняется для
всех );(
x при 1,1
321
CCC . Значит, функции линейно зависимые.
Пример 6.3.2. Доказать, что система функций
2
,,1 xx линейно независимая на
интервале );(
 .
Решение. Равенство 01
2
321
xCxCC должно выполняться при любом
);( x
. Положим здесь 0x , в результате получим 0
1
C . Равенство примет вид
0
2
32
xCxC . Дифференцируя обе части равенства, получаем 02
32
xCC , откуда,
полагая
0x
, находим 0
2
C , тогда 0
3
C . Так как все значения
321
,, CCC равны 0, то
система функций линейно независимая.
Пусть
n функций )(...,),(),(
21
xyxyxy
n
имеют производные )1( n -го порядка.

Страницы