ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
38
2.1.2. Геометрический смысл двойного интеграла
Пусть в пространстве дано тело
T
(рис. 2.1), ограниченное снизу областью D , сверху –
графиком непрерывной и неотрицательной функции ),(
yxfz
, которая определена в
области
D , с боков – цилиндрической поверхностью, направляющей которой является
граница области
D , а образующие параллельны оси Оz . Тело такого вида называется
цилиндрическим телом.
Аналогично тому, как задача о вычислении площади криволинейной трапеции
приводит к установлению геометрического смысла определенного интеграла, так и задача о
вычислении объема тела
T
приводит к геометрическому истолкованию двойного интеграла.
Действительно, интегральная сумма (2.1) представляет собой сумму объемов прямых
цилиндров с площадями оснований
i
S
и высотами ),(
ii
yxf , которую можно принять за
приближенное значение объема
V тела
T
:
ii
n
1i
i
SyxfV
),(.
Это приближенное равенство тем точнее, чем мельче разбиение области D на части.
Устремляя
к нулю, получаем
ii
n
i
i
SyxfV
),(lim
1
0
.
Так как функция
),( yxf
интегрируема, то предел существует и равен двойному интегралу от
этой функции по области D , т. е.
D
dSyxfV ),( . (2.2)
Отсюда следует геометрический смысл двойного интеграла: двойной интеграл от
непрерывной неотрицательной функции равен объему соответствующего цилиндрического
тела.
В частности, если
1),( yxf
всюду в области
D
, то 1
SV , где S – площадь области
D , и формула (2.2) принимает вид:
D
SdS .
z
О
x
T
D
),( yxfz
y
Рис. 2.1
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- …
- следующая ›
- последняя »
