Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 205 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

205
Пусть начальный отрезок ],[
00
ba уже найден. Рассмотрим численные методы,
используемые для уточнения приближенных корней [6]–[8].
7.2.3. Метод половинного деления
Среди численных методов решения уравнения (7.8) наиболее простым в реализации
является
метод половинного деления. Он позволяет находить корень уравнения (7.8) с любой
заданной точностью
и применим в том случае, если )(xf непрерывна на ],[
00
ba и
0)()(
00
bfaf . Суть метода состоит в следующем.
Разбиваем ],[
00
ba пополам; среди двух получившихся отрезков выбираем тот, на
концах которого )(
xf принимает значения разных знаков. Получаем новый отрезок ],[
11
ba ,
внутри которого находится точный корень уравнения. Данный процесс деления и выбора
нового более узкого отрезка продолжаем до тех пор, пока на
n-ом шаге длина полученного
отрезка ],[
nn
ba не станет меньше
2 . Тогда приближенный корень уравнения может быть
найден по формуле
.2/)(
nnn
bax
(7.10)
При этом абсолютная погрешность найденного корня не превышает
, т. е.
||
*
xx
n
.
Может случиться, что на некотором шаге значение )(
xf в середине отрезка равно нулю.
Тогда середина отрезка – точный корень уравнения (7.8).
7.2.4. Метод Ньютона
Пусть корень уравнения (7.8) отделен на начальном отрезке ],[
00
ba , причем
0)()(
00
bfaf и
)(xf
и
)(xf
отличны от нуля и знакопостоянны на этом отрезке. Знак
первой производной означает, что кривая )(
xfy
является графиком возрастающей
)0)((
xf или убывающей )0)((
xf
функции. Кривая будет строго выпукла вниз
)0)((
xf или вверх )0)((
xf .
Геометрический смысл
метода Ньютона или иначе – метода касательных состоит в
том, что к графику функции )(
xf проводится касательная в некоторой точке с абсциссой
],[
00
bax , и вместо точки пересечения графика )(xf с осью Ox ищется точка пересечения
этой касательной с осью
Ox (рис. 7.3).
Рис. 7.3.
В качестве начальной точки
0
x выбирается тот из концов отрезка ],[
00
ba , в котором
функция )(
xf и ее вторая производная имеют один и тот же знак
.0)()(
xfxf (7.11)
Затем строят касательную к графику )(
xf в точке с абсциссой
0
x , находят абсциссу
1
x
точки пересечения касательной с осью
Ox. Снова строят касательную к графику )(xf уже в

Страницы