Методы оптимизации. Азарнова Т.В - 36 стр.

                                              38


               x0


           .
                    ∇f (x0 )
                x*




Пример 2. Решить задачу f ( x) =2 x12 +x 22 +x1 x 2 → min методом
наискорейшего спуска.
Решение.
∇ f ( x ) =(4 x1 +x 2 ,2 x 2 +x1 )
                                               Итерация 1
12. Зададим x =(0.5,1), ε =0.4.
                  0

13. ∇ f ( x 0 ) =(3, 2.5), || ∇ f ( x 0 ) ||=3.9>ε .
3. Решим задачу одномерной минимизации по α :

                                  Φ(α ) = f(х 0 −α∇ f ( x 0 )) =2(0.5 −3α ) 2 +
                      x0
                                  +(1 −2.5α ) 2 +(0.5 −3α )(1 −2.5α ) → min
                                   α*=0.24.
                                   х0=х0- α* ∇ f ( x 0 ) =(0.5-3·0.24, 1-2.5·0.24)=
                                   =(-0.22,0.4).
                    0.5
                                           Итерация 2.
                                  4. ∇ f ( x 0 ) =(-0.48, 0.58), || ∇ f ( x 0 ) ||=0.752>ε .
                                  5. Решим задачу одномерной минимизации .

Φ (α ) = f(х 0 −α∇ f ( x 0 )) =2( −0.22 +0.48α ) 2 +(0.4 −0.58α ) 2 +
+(−0.22 +0.48α )(0.4 −0.58α ) → min
α*=0.546, х0=х0- α*, ∇ f ( x 0 ) = ( −0.22 +0.48α , 0.4 −0.58α ) =(0.04, 0.08)
                                               Итерация 3.
14. ∇ f ( x 0 ) =(-0.24, 0.2), || ∇ f ( x 0 ) ||=0.312<ε ⇒ x* =x 0 =(0.04 , 0.08 ) .

Заданная точность достигнута, однако оптимальное решения x min =(0,0 ) за 2
итерации найдено не было. Из графической иллюстрации видно, что линиями
уровня в данной задаче являются концентрические эллипсы и получаемые в
ходе алгоритма направления не проходят через их центр.