Дискретная математика. Элементы теории, задачи и упражнения. Часть 2. Булгакова И.Н. - 51 стр.

UptoLike

Составители: 

51
Пользуясь этой теоремой, можно доказать полноту еще ряда
функциональных систем и тем самым расширить список примеров полных
систем.
4. Системы
{
}
yxxG
Ú
=
,
1
и
{
}
yxxG
Ù
=
,
2
являются полными.
Из равенств
yxyx Ù=Ú и yxyx Ú=Ù
следует, что в качестве системы
F
можно использовать множество
функций в примере 1.
5. Система
{
}
yxG |
=
полна, так как
(
)
(
)
yxyxyxxxx |||;|
=
Ù
=
,
и в качестве
F
можно взять систему функций
{
}
yxx
Ù
, из примера 4.
На множестве
булевых функций справедлив следующий кри-
терий полноты.
Теорема Поста:
Система
{
}
,...,
21
ffF
=
полна тогда и только тогда, когда она
целиком не содержится ни в одном из замкнутых классов
0
T ,
1
T ,
S
,
M
,
L
.
Применение критерия полноты
Чтобы исследовать полноту системы функций
{
}
,...,
21
ffF
=
, удобно
построить следующую таблицу.
В ней столько строк, сколько функций в данной системе F . В каждую
клетку этой таблицы, стоящей на пересечении столбца, соответствующего
одному из классов, и строки, соответствующей функции
i
f , заносится знак
«+», если
i
f принадлежит этому классу, и знак «» в противном случае.
В силу критерия Поста для полноты системы F=
{
}
,...,
21
ff необхо-
димо и достаточно, чтобы хотя бы в одной клетке каждого столбца стоял
знак «».
классы
функции
0
T
1
T
S
M
L
1
f
2
f
3
f