Решение задач по теоретической механике. Ч.3. Динамика. Чеботарев А.С - 5 стр.

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ВГУ | Воронеж

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5
§1. Ⱦɢɧɚɦɢɤɚ ɬɨɱɤɢ. ɉɪɹɦɚɹ ɢ ɨɛɪɚɬɧɚɹ ɡɚɞɚɱɚ
ȼɬɨɪɨɣ ɡɚɤɨɧ ɇɶɸɬɨɧɚ:
Fwm
.
m
– ɢɧɟɪɬɧɚɹ ɦɚɫɫɚ ɬɨɱɤɢ;
w
– ɭɫɤɨɪɟɧɢɟ;
F
– ɫɢɥɚ.
ɉɪɹɦɚɹ ɡɚɞɚɱɚ ɞɢɧɚɦɢɤɢ ɬɨɱɤɢ ɫɨɫɬɨɢɬ ɜ ɬɨɦ, ɱɬɨ ɩɨ ɢɡɜɟɫɬɧɨɦɭ
ɡɚɤɨɧɭ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɧɚɣɬɢ ɫɢɥɭ, ɜɵɡɜɚɜɲɭɸ ɷɬɨ ɞɜɢɠɟɧɢɟ.
Ɉɛɪɚɬɧɚɹ ɡɚɞɚɱɚ ɞɢɧɚɦɢɤɢ ɬɨɱɤɢ ɫɨɫɬɨɢɬ ɜ ɬɨɦ, ɱɬɨ ɩɨ ɢɡɜɟɫɬɧɨɣ ɫɢɥɟ
ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɧɚɣɬɢ ɡɚɤɨɧ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɬɨɱɤɢ.
ɑɬɨɛɵ ɪɟɲɢɬɶ ɩɪɹɦɭɸ ɢ/ɢɥɢ ɨɛɪɚɬɧɭɸ ɡɚɞɚɱɭ, ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ
ɜɬɨɪɨɣ ɡɚɤɨɧ ɇɶɸɬɨɧɚ ɜ ɩɪɨɟɤɰɢɹɯ ɧɚ ɨɫɢ
ɜɵɛɪɚɧɧɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ.
I. Ⱦɟɤɚɪɬɨɜɚ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɚɹ ɫɢɫɬɟɦɚ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ
xOyz
.
,
,
,
rxiyjzk
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wxi yjzk
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
 
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ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɬɨɱɤɢ.
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FFF ,,
– ɩɪɨɟɤɰɢɢ ɜɟɤɬɨɪɚ ɫɢɥɵ ɧɚ ɨɫɢ
OzOyOx ,,
.
Ɍɚɤ ɤɚɤ ɫɢɥɚ ɜ ɨɛɳɟɦ ɫɥɭɱɚɟ ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɩɨɥɨɠɟɧɢɹ ɬɨɱɤɢ, ɫɤɨɪɨɫɬɢ
ɬɨɱɤɢ ɢ ɜɪɟɦɟɧɢ, ɬɨ
ɗɬɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɵɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɬɨɱɤɢ ɜ ɞɟɤɚɪɬɨɜɨɣ
ɫɢɫɬɟɦɟ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ.
II. ɐɢɥɢɧɞɪɢɱɟɫɤɚɹ ɫɢɫɬɟɦɚ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ
z
r
,,
M
.
°
¿
°
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M M
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)(
)(
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ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɬɨɱɤɢ.
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dr d dz
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dt dt dt
M
MMM
(, , , , , , ),
( , , , , , , ), (1)
(, , , , , , ).
x
y
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mx F t x y z x y z
my F t x y z x y z
mz F t x y z x y z
°
®
°
¯



 
                §1. Ⱦɢɧɚɦɢɤɚ ɬɨɱɤɢ. ɉɪɹɦɚɹ ɢ ɨɛɪɚɬɧɚɹ ɡɚɞɚɱɚ

ȼɬɨɪɨɣ ɡɚɤɨɧ ɇɶɸɬɨɧɚ:

    mw F .
m – ɢɧɟɪɬɧɚɹ ɦɚɫɫɚ ɬɨɱɤɢ;
w – ɭɫɤɨɪɟɧɢɟ;
F – ɫɢɥɚ.
      ɉɪɹɦɚɹ ɡɚɞɚɱɚ ɞɢɧɚɦɢɤɢ ɬɨɱɤɢ ɫɨɫɬɨɢɬ ɜ ɬɨɦ, ɱɬɨ ɩɨ ɢɡɜɟɫɬɧɨɦɭ
ɡɚɤɨɧɭ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɧɚɣɬɢ ɫɢɥɭ, ɜɵɡɜɚɜɲɭɸ ɷɬɨ ɞɜɢɠɟɧɢɟ.
      Ɉɛɪɚɬɧɚɹ ɡɚɞɚɱɚ ɞɢɧɚɦɢɤɢ ɬɨɱɤɢ ɫɨɫɬɨɢɬ ɜ ɬɨɦ, ɱɬɨ ɩɨ ɢɡɜɟɫɬɧɨɣ ɫɢɥɟ
ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɧɚɣɬɢ ɡɚɤɨɧ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɬɨɱɤɢ.
      ɑɬɨɛɵ ɪɟɲɢɬɶ ɩɪɹɦɭɸ ɢ/ɢɥɢ ɨɛɪɚɬɧɭɸ ɡɚɞɚɱɭ, ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ
ɜɬɨɪɨɣ ɡɚɤɨɧ ɇɶɸɬɨɧɚ ɜ ɩɪɨɟɤɰɢɹɯ ɧɚ ɨɫɢ ɜɵɛɪɚɧɧɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ.
I.     Ⱦɟɤɚɪɬɨɜɚ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɚɹ ɫɢɫɬɟɦɚ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ xOyz .
      r xi  yj  zk ,                                  x xt ½
                                                               °
      v xi  y j  zk    ,                ɝɞe        y y t ¾ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɬɨɱɤɢ.
      w xi   yj   zk ,                          z z t °¿
      F Fx i  Fy j  Fz k                 Fx , Fy , Fz – ɩɪɨɟɤɰɢɢ ɜɟɤɬɨɪɚ ɫɢɥɵ ɧɚ ɨɫɢ
Ox, Oy , Oz .
      Ɍɚɤ ɤɚɤ ɫɢɥɚ ɜ ɨɛɳɟɦ ɫɥɭɱɚɟ ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɩɨɥɨɠɟɧɢɹ ɬɨɱɤɢ, ɫɤɨɪɨɫɬɢ
ɬɨɱɤɢ ɢ ɜɪɟɦɟɧɢ, ɬɨ
­ mx Fx (t , x , y , z , x , y , z ),
°
® my Fy (t , x , y , z , x , y , z ),                                     (1)
° 
¯ mz Fz (t , x , y , z , x , y , z ).
    ɗɬɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɵɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɬɨɱɤɢ ɜ ɞɟɤɚɪɬɨɜɨɣ
ɫɢɫɬɟɦɟ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ.
II. ɐɢɥɢɧɞɪɢɱɟɫɤɚɹ ɫɢɫɬɟɦɚ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ r , M, z .
r r (t ) ½
           °
M M(t )¾     ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɬɨɱɤɢ.
 z z (t ) °¿

    dr o    d M o dz o           o           o         o
v      r r    M     z   r r          
                                      rMM        z z ,
    dt      dt     dt


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