Программирование МКЭ в МATLAB. Даутов P.З. - 28 стр.

28                                            Глава 2. Построение сеток в MatLab


   Рассмотренный выше способ построения и кодировки треуголь-
ных сеток (назовем их P1 сетками) позволяет реализовать метод ко-
нечных элементов для приближенного решения краевых задач для
дифференциальных уравнений в частных производных второго по-
рядка в двумерных областях. Точнее говоря, простейший метод, ос-
нованный на конформных линейных треугольных элементах (или, ко-
роче, P1 элементах).1) Набор различного по характеру функций, поз-
воляющий достигнуть этой цели, представлен в pde tooldox. Далее мы
рассмотрим другой способ кодировки P1 сеток, а также P2 сетки.

                 § 4. Сопряженная кодировка сетки

     Рассмотренная выше кодировка сетки, представленная массивами
(p, e, t), ориентирована на алгоритмы, в которых конечные элементы
(треугольники) обрабатываются независимо друг от друга. Однако,
имея только массивы (p, e, t), трудно, например, ответить на такие
вопросы:
  1) какие элементы содержат данный узел?
  2) какие элементы имеют общее ребро с данным элементом? Явля-
     ется ли ребро элемента граничным и какому сегменту он при-
     надлежит?
Чтобы быстро решать подобные задачи, необходимо дополнить мас-
сивы (p, e, t) другими.
     Рассмотрим 1-ую задачу. Матрица t, называемая также матри-
цей связности элементов, является компактным способом представ-
ления следующей разреженной матрицы T размера np × nt с 3-мя
ненулевыми элементами в каждом столбце: в j столбце располагается
1 в строках с номерами t(1 : 3, j) (соответствующим номерам вершин
j-го элемента). Не трудно заметить, что в i-той строке T единица на-
ходится только в тех позициях, которые соответствуют номерам эле-
ментов, имеющим узел i своей вершиной. Поэтому, если мы получим
разреженный столбцевой формат хранения T ′ (транспонированной к
T ; она определяется лишь векторами (it, pt), т.к. ненулевые элементы
  1)
   в этом случае на каждом элементе приближенная функция является алгебраическим по-
линомом 1-oй степени и определяется однозначно своими значениями в вершинах элемента.