Основы вычислительной математики. Денисова Э.В - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

m [i, j]
Только для инициализации двумерного массива используется вложенный цикл for.
Например:
. . . .
For i:= 1 to 10 do
For j:= 1 to 20 do
m[i, j] := 0;
Многомерные массивы реализуются аналогично матрицам. N-мерный массив характеризуется N индексами.
Формат описания такого типа данных:
Type
<Имя типа> = Array[ <диапазон индекса1>, <диапазон индекса2>,...
<диапазон индекса N> ] Of <тип компонент>;
Отдельный элемент именуется так:
<Имя массива>[<Индекс 1>,<Индекс 2>,...,<Индекс N>]
§ 3. Пример приведения матрицы к ступенчатому виду методом Гаусса на языке С.
В качестве примера работы с матрицами рассмотрим алгоритм Гаусса приведения матрицы к ступенчатому
виду. Метод Гаусса - один из основных результатов линейной алгебры и аналитической геометрии, к нему
сводятся множество других теорем и методов линейной алгебры (теория и вычисление определителей,
решение систем линейных уравнений, вычисление ранга матрицы и обратной матрицы, теория базисов
конечномерных векторных пространств и т.д.).
Напомним, что матрица A с элементами a
ij
называется ступенчатой, если она обладает следующими двумя
свойствами:
1.
если в матрице есть нулевая строка, то все строки ниже нее также нулевые;
2.
пусть a
ij
не равное 0 -- первый ненулевой элемент в строке с индексом i, т.е. элементы a
il
= 0 при l < j.
Тогда все элементы в j-м столбце ниже элемента a
ij
равны нулю, и все элементы левее и ниже a
ij
также равны
нулю: a
kl
= 0 при k > i и l =< j.
Ступенчатая матрица выглядит примерно так: !!!!СДЕЛАТЬ СТУПЕНЧАТУЮ матрицу формулой
Здесь тёмными квадратиками отмечены первые ненулевые элементы строк матрицы. Белым цветом
изображаются нулевые элементы, серым цветом - произвольные элементы.
Алгоритм Гаусса использует элементарные преобразования матрицы двух типов.
• Преобразование первого рода: две строки матрицы меняются местами, и при этом знаки всех элементов
одной из строк изменяются на противоположные.
• Преобразование второго рода: к одной строке матрицы прибавляется другая строка, умноженная на
произвольное число.
Элементарные преобразования сохраняют определитель и ранг матрицы, а также множество решений
линейной системы. Алгоритм Гаусса приводит произвольную матрицу элементарными преобразованиями к
ступенчатому виду. Для ступенчатой квадратной матрицы определитель равен произведению диагональных
элементов, а ранг - числу ненулевых строк (рангом по определению
называется размерность линейной
оболочки строк матрицы).
Метод Гаусса в математическом варианте состоит в следующем:
1.
ищем сначала ненулевой элемент в первом столбце. Если все элементы первого столбца нулевые, то
переходим ко второму столбцу, и так далее. Если нашли ненулевой элемент в k-й строке, то при помощи
элементарного преобразования первого рода меняем местами первую и k-ю строки, добиваясь того, чтобы
первый элемент первой строки был отличен от
нуля;
2.
используя элементарные преобразования второго рода, обнуляем все элементы первого столбца, начиная
со второго элемента. Для этого от строки с номером k вычитаем первую строку, умноженную на коэффициент
a
k1
/a
11
.
3.
переходим ко второму столбцу (или j-му, если все элементы первого столбца были нулевыми), и в
дальнейшем рассматриваем только часть матрицы, начиная со второй строки и ниже. Снова повторяем
пункты 1) и 2) до тех пор, пока не приведем матрицу к ступенчатому виду.

Страницы