Основы вычислительной математики. Денисова Э.В - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

()
11 1, 1 1, 1 1
1,1 1, 1 1, 1 1,
1,1 1, 1 1, 1 1,
1,1,1
... ...
......................
... ...
1.
... ...
......................
... ...
jj n
iijijin
ij
ij
iijijin
nnjnj nn
aaa a
aaa a
A
aaa a
aaa a
−+
−−−−+−
+
++−+++
−+
=−
Каждый элемент (i,j = l, ..., n) обратной матрицы Z=A
-1
равен отношению алгебраического дополнения A
ij
элемента a
ji
(не a
ij
) исходной матрицы А к значению ее определителя D:
1
11 21
212 22
1
12
...
...
.............
...
n
n
nn nn
A
AA
D
DD
A
AA
ZA
D
DD
A
AA
D
DD
−
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
==
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
Здесь, как и выше, можно также подсчитать число операций, необходимое для вычисления обратной матрицы
без использования специальных методов. Это число равно сумме числа операций, с помощью которых вы-
числяются алгебраических дополнений, каждое из которых является определителем (п-1)-го порядка, и
делений алгебраических до полyчений на определитель D. Таким образом, общее число операций для
вычислений обратной матрицы равно
()
22 2
1 ( 1)!1 !1 !1.N n n nnnn nn=−⋅−− ++⋅−=⋅−
⎡⎤
⎣⎦
Важной задачей линейной алгебры является также вычисление собственных значений матрицы.
§1. Прямые методы. Метод Гаусса. Метод главных диагоналей. Определитель и обратная
матрица. Метод прогонки.
1.1 Прямые методы
Вводные замечания. Одним из способов решения системы линейных уравнений является правило Крамера,
согласно которому каждое неизвестное представляется в виде отношения определителей. Запишем его для си-
стемы
11 1
22 2
ax by c
ax by c
+
=
+
=
Тогда
11
11 11 11
12
22 22 22
/, /,
,, .
xDDyDD
ab cb ac
DD D
ab cb ac
=
=
===
Можно попытаться использовать это правило для решения систем уравнений произвольного порядка. Однако
при большом числе уравнений потребуется выполнить огромное число арифметических операций, поскольку
для вычислений п неизвестных необходимо найти значения определителей, число которых n+1. Количество
арифметических операций можно оценить с учетом формулы (8). При этом предполагаем, что определители
вычисляются непосредственно — без использования экономичных методов. Тогда получим
(1)( !1).Nn nn n
=
+⋅−+
Поэтому правило Крамера молено использовать лишь для решения систем, состоящих из нескольких
уравнений.
Известен также метод решения линейной системы с использованием обратной матрицы. Система
записывается в виде Аx =b . Тогда, умножая обе части этого векторного уравнения слева на обратную
матрицу A
-1
, получаем x= A
-1
b. Однако если не использовать экономичных схем для вычисления обратной
матрицы, этот способ также непригоден для практического решения линейных систем при больших значениях
п из-за большого объема вычислений.
Наиболее распространенными среди прямых методов являются метод исключения Гаусса и его модификации.

Страницы