Дифференциальное исчисление. - 1 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ
§1. ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÉ
1.1. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎËÃÉÀ y(x), ÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÕÀ ÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (a; b).
òÁÚÎÏÓÔØ 4x = x−x
0
(x, x
0
∈ (a; b)) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÅÍ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ
x × ÔÏÞËÅ x
0
. òÁÚÎÏÓÔØ 4y(x
0
) = y(x
0
+4x)−y(x
0
) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÅÍ
ÆÕÎËÃÉÉ y × ÔÏÞËÅ x
0
.
åÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÐÒÅÄÅÌ (ËÏÎÅÞÎÙÊ ÉÌÉ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÊ)
lim
4x→0
4y(x
0
)
4x
= lim
4x→0
y(x
0
+ 4x) − y(x
0
)
x − x
0
,
ÔÏ ÏÎ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ (ËÏÎÅÞÎÏÊ ÉÌÉ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÊ) ÆÕÎËÃÉÉ y × ÔÏÞ-
ËÅ x
0
É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ y
0
(x
0
).
äÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ y = f (x) ÉÓÐÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅ-
ÎÉÑ:
y
0
, y
0
(x), f
0
, f
0
(x), y
0
x
, f
0
x
,
dy
dx
,
dy(x)
dx
,
df
dx
,
df(x)
dx
.
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ðÒÉÒÁÝÅÎÉÅ 4y(x
0
) ÆÕÎËÃÉÉ y(x) × ÔÏÞËÅ x
0
ÞÁÓÔÏ ÏÂÏÚÎÁ-
ÞÁÀÔ ÞÅÒÅÚ 4y. ïÄÎÁËÏ, ÎÅ ÓÌÅÄÕÅÔ ÚÁÂÙ×ÁÔØ, ÞÔÏ ÜÔÁ ×ÅÌÉÞÉÎÁ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ
ÔÏÞËÉ x
0
É ÏÔ ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÑ 4x.
çÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÓÍÙÓÌ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ
ÆÕÎËÃÉÉ y = f(x) × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÔÏÞËÅ x
0
ÒÁ×ÎÁ ÕÇÌÏ×ÏÍÕ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÕ ËÁ-
ÓÁÔÅÌØÎÏÊ Ë ÇÒÁÆÉËÕ ÆÕÎËÃÉÉ y = f (x) × ÔÏÞËÅ x
0
: tg α = f
0
(x
0
), ÇÄÅ α ¡
ÕÇÏÌ ÍÅÖÄÕ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ É ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÍ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÅÍ ÏÓÉ ÁÂÓÃÉÓÓ.
íÅÈÁÎÉÞÅÓËÉÊ ÓÍÙÓÌ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ¡ ÜÔÏ ÓËÏÒÏÓÔØ (v) ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ ÐÕÔÉ
(s) ÐÏ ×ÒÅÍÅÎÉ (t): v = s
0
(t).
ðÒÉÍÅÒ 1. îÁÊÔÉ ÐÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÉ y =
1
x
.
òÅÛÅÎÉÅ. úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ ÔÏÞËÕ x
0
6= 0. ôÁË ËÁË y(x) =
1
x
,
1
      äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÉÓÞÉÓÌÅÎÉÅ

§1. ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÉ

1.1. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ

   òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÆÕÎËÃÉÀ y(x), ÏÐÒÅÄÅ̾ÎÎÕÀ ÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (a; b).
   òÁÚÎÏÓÔØ 4x = x − x0 (x, x0 ∈ (a; b)) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÅÍ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ
x × ÔÏÞËÅ x0. òÁÚÎÏÓÔØ 4y(x0) = y(x0 +4x)−y(x0) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÅÍ
ÆÕÎËÃÉÉ y × ÔÏÞËÅ x0.
   åÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÐÒÅÄÅÌ (ËÏÎÅÞÎÙÊ ÉÌÉ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÊ)

                            4y(x0 )       y(x0 + 4x) − y(x0)
                       lim          = lim                    ,
                       4x→0  4x      4x→0       x − x0

ÔÏ ÏÎ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ (ËÏÎÅÞÎÏÊ ÉÌÉ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÊ) ÆÕÎËÃÉÉ y × ÔÏÞ-
ËÅ x0 É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ y 0 (x0).
   äÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ y = f (x) ÉÓÐÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÏÂÏÚÎÁÞÅ-
ÎÉÑ:

                                                         dy     dy(x)     df     df (x)
      y0,   y 0 (x),    f 0,   f 0(x),   yx0 ,   fx0 ,      ,         ,      ,          .
                                                         dx      dx       dx       dx

   úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ðÒÉÒÁÝÅÎÉÅ 4y(x0) ÆÕÎËÃÉÉ y(x) × ÔÏÞËÅ x0 ÞÁÓÔÏ ÏÂÏÚÎÁ-
ÞÁÀÔ ÞÅÒÅÚ 4y. ïÄÎÁËÏ, ÎÅ ÓÌÅÄÕÅÔ ÚÁÂÙ×ÁÔØ, ÞÔÏ ÜÔÁ ×ÅÌÉÞÉÎÁ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ
ÔÏÞËÉ x0 É ÏÔ ÐÒÉÒÁÝÅÎÉÑ 4x.
   çÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÓÍÙÓÌ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÚÁËÌÀÞÁÅÔÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ
ÆÕÎËÃÉÉ y = f (x) × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÔÏÞËÅ x0 ÒÁ×ÎÁ ÕÇÌÏ×ÏÍÕ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÕ ËÁ-
ÓÁÔÅÌØÎÏÊ Ë ÇÒÁÆÉËÕ ÆÕÎËÃÉÉ y = f (x) × ÔÏÞËÅ x0: tg α = f 0(x0), ÇÄÅ α ¡
ÕÇÏÌ ÍÅÖÄÕ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ É ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÍ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÅÍ ÏÓÉ ÁÂÓÃÉÓÓ.
   íÅÈÁÎÉÞÅÓËÉÊ ÓÍÙÓÌ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ¡ ÜÔÏ ÓËÏÒÏÓÔØ (v) ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ ÐÕÔÉ
(s) ÐÏ ×ÒÅÍÅÎÉ (t): v = s0 (t).
   ðÒÉÍÅÒ 1. îÁÊÔÉ ÐÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÉ y = x1 .
   òÅÛÅÎÉÅ. úÁÆÉËÓÉÒÕÅÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÕÀ ÔÏÞËÕ x0 6= 0. ôÁË ËÁË y(x) = x1 ,
                                   1

Страницы