Линейное программирование. Филькин Г.В. - 19 стр.

      Нетрудно видеть, что задача (1) – это задача использования ресурсов –
сколько и какой продукции xi необходимо произвести, чтобы при заданных
ценах Cj и размерах имеющихся ресурсов bi максимизировать выпуск про-
дукции, в денежном выражении.
      Сформулируем экономический смысл двойственной задачи с теми же
(исходными данными). Допустим, что организация решила закупить все ре-
сурсы которыми располагает хозяйство. Необходимо установить оптималь-
ные цены на эти ресурсы исходя из следующих условий:
      1) Общую стоимость ресурсов покупающая организация стремиться
минимизировать.
      2) Однако за каждый вид ресурсов хозяйство требует уплатить не менее
той суммы которую она может выручить при его переработке в готовую про-
дукцию. В противном случае хозяйству выгоднее не продавать ресурсы, а ор-
ганизовать собственное производство.
      Обозначим через yi искомую цену ресурсов, тогда первое требование
приведёт к целевой функции W задачи (2), а второе требование приведёт к
системе ограничений задачи (2).
      Задачи (1) и (2) являются двойственными по отношению друг к другу.
Мы видим, что:
      1)      В одной задаче целевая функция стремится к максимуму, а
другая к минимуму.
      2)      Матрица ограничений одной задачи получается из матрицы
ограничений другой задачи транспонированием (строка становится столбцом
и наоборот).
      3)      Число переменных в двойственной задаче равно числу ограни-
чений в исходной задаче (справедливо и обратное).
      4)      Коэффициентами целевой функции в двойственной задаче яв-
ляются свободные члены исходной задачи и наоборот.
      5)      Неравенство в системах ограничений прямой и двойственной
задач имеют противоположный смысл.
      Очевидно, что понятие двойственности взаимно, т.е. обе эти задачи
взаимно двойственные и образуют пару двойственных задач. Двойственные
пары задач подразделяют на:
      -        симметричные,
      -        несимметричные.
      Задачи (1) и (2) образуют симметричную пару. В несимметричных
двойственных задачах нет такой чёткой системы, как было описано ранее.
Например: система ограничений исходной задачи может описываться в виде
равенств, причём во (2) задаче переменные могут быть и отрицательными.
      В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением симметричных двойст-
венных задач. Теория двойственности работает в экономике весьма плодо-
творно, в частности теория двойственности применяется для определения
цен природных ресурсов, таких как вода, земля и т.д.
      Справедлива теорема (двойственности).

                                    18