Элементы математической логики. Фролов И.С. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

§5. Исчисление высказываний
1. Аксиомы и правила вывода
Исчисление, или формальная теория, строится следующим обра-
зом:
1) определяется множество формул, или правильно построен-
ных выражений, образующее язык теории;
2) выделяется подмножество формул, называемых аксиомами
теории;
3) задаются правила вывода теории. Правило вывода — это
отношение R(F
1
, F
2
, . . . , F
n
, G) на множестве формул. Говорят, что
формула G непосредственно выводима из формул F
1
, F
2
, . . . , F
n
по
правилу R. Часто правило вывода обозначается
F
1
,F
2
,...,F
n
G
. Формулы
F
1
, F
2
, . . . , F
n
называются посылками, а G — следствием, или заклю-
чением.
Исчисление высказываний включает в себя множество логических
формул, построенных с помощью атомов P, Q, R, . . . и логических свя-
зок ¬, ∧, ∨, ⇒, ⇔. Множество аксиом определяется следующими схема-
ми:
1) A ⇒ (B ⇒ A);
2) (A ⇒ (B ⇒ C)) ⇒ ((A ⇒ B) ⇒ (A ⇒ C));
3) A ∧ B ⇒ A;
4) A ∧ B ⇒ B;
5) A ⇒ (B ⇒ (A ∧ B));
6) A ⇒ (A ∨ B);
7) B ⇒ (A ∨ B);
8) (A ⇒ C) ⇒ ((B ⇒ C) ⇒ (A ∨ B ⇒ C));
9) (A ⇒ B) ⇒ ((A ⇒ ¬B) ⇒ ¬A);
10) ¬¬A ⇒ A;
11) (A ⇒ B) ⇒ ((B ⇒ A) ⇒ (A ⇔ B));
12) (A ⇔ B) ⇒ (A ⇒ B);
13) (A ⇔ B) ⇒ (B ⇒ A).
Эти тринадцать формул называются схемами аксиом, потому что
аксиомы получаются из них подстановкой вместо букв A, B, C конкрет-
ных формул.
В качестве единственного правила вывода принимаем правило
A, A ⇒ B
B
(MP — modus ponens, или правило отделения).
37

Страницы