Элементы математической логики. Фролов И.С. - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

При заданной интерпретации предметные переменные мыслятся
пробегающими предметную область D, а связкам и кванторам прида-
ется их обычный смысл. Тогда всякий основный терм имеет опреде-
ленное значение в предметной области D, всякая замкнутая формула
имеет определенное истинностное значение; если же терм или формула
содержат свободные переменные, то они выражают собой соответствен-
но функцию или предикат предметной области.
Формализуем утверждения последнего абзаца.
Пусть Σ — множество всех счетных последовательностей s =
= (s
1
, s
2
, . . .) элементов из D. Расширением интерпретации I при помо-
щи s ∈ Σ будем называть продолжение отображения оценки |·|
I
путем
включения в него соответствия
4) каждой переменной x
j
элемента |x
j
|
s
I
= s
j
∈ D.
Продолжим расширенную интерпретацию I
s
на произвольные вы-
ражения (обычную интерпретацию можно было бы распространить
только на основные выражения):
a) если выражение E есть терм f(t
1
, . . . , t
n
), то
|E|
s
I
= |f|
I
(|t
1
|
s
I
, . . . , |t
n
|
s
I
);
b) если выражение E есть атом P (t
1
, . . . , t
n
), то
|E|
s
I
= |P |
I
(|t
1
|
s
I
, . . . , |t
n
|
s
I
);
c) если выражение E есть формула ¬G, G ∧H, G ∨H, G ⇒ H или
G ⇔ H, то |E|
s
I
определяется по истинностным значениям |G|
s
I
и |H|
s
I
как в логике высказываний;
d) если выражение E есть формула ∀x
j
F , то |E|
s
I
= 1 (истина)
при условии, что |F |
s
0
I
= 1 для всех последовательностей s
0
∈ Σ, отли-
чающихся от s разве что j-й компонентой;
e) если выражение E есть формула ∃x
j
F , то |E|
s
I
= 1 при условии,
что |F |
s
0
I
= 1 для некоторой последовательности s
0
∈ Σ, отличающейся
от s разве что j-й компонентой.
Будем говорить, что формула F :
— выполнена в расширенной интерпретации I
s
, если |F |
s
I
= 1;
— истинна в интерпретации I, если она выполнена в любом рас-
ширении этой интерпретации;
— ложна в интерпретации I, если она не выполнена ни в одном
расширении этой интерпретации.
Пример 5. Рассмотрим формулу F = ∀x(P (x) ⇒ Q(f(x), a)). В
этой формуле имеется одна константа a, одна связанная переменная
61

Страницы