ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Математическая Логика и Теория Алгоритмов стр. 3 из 64
© 2003 Галуев Геннадий Анатольевич
Конспект лекций по курсу
Математическая Логика и Теория Алгоритмов
Галуев Геннадий Анатольевич
Лекция №1
Введение.
Математическая логика – это логика, которая развивается с помощью мате-
матических методов. Этот термин имеет и другой смысл: изучать математическую ло-
гику – значит изучать логику используемую в математике.
Математическая логика это раздел науки, истоки которого берут начало с Ари-
стотеля (384 – 322гг. до н.э.). Как самостоятельный раздел науки математическая
логика сформировалась сравнительно недавно –
на рубеже XIX и XX веков. Её бы-
строе развитие и становление в начале XX века было связано с общим кризисом в ос-
нованиях математики. При любой попытке систематического изложения математики
(как, впрочем, и любой другой науки) возникает проблема выбора начальных т.е. ис-
ходных понятий и принципов, которые будут положены в основу
всего изложения.
Эта проблема, как правило, лежит вне самой научной дисциплины и относится к фи-
лософии и методологии научного познания. Систематизация математики в конце XIX
века выявила, что весьма перспективным (отражающим новые физические представ-
ления о материальном объекте, неисчерпаемом по своим свойствам) является понятие
множества в качестве единственного изначального понятия для всей
математики.
Работами Б. Больцано, Р. Дедекинда, Г. Кантора была создана новая математиче-
ская дисциплина – теория множеств. Красота и сила этой теории привлекли многих
математиков того времени к теоретико-множественному переосмыслению понятия ма-
тематики и показали перспективность применения этой теории в основаниях матема-
тики. Однако высокая степень абстрактности и универсальность понятия
множества
не могли не привести к трудностям, хорошо известным в философии при работе с
универсалиями. Эти трудности проявились в открытии парадоксов, т.е. рассуждений,
приводящих к противоречиям. Одним из логических парадоксов является парадокс Б.
Рассела (1902 – 1903 гг.):
Пусть множество – это всякое собрание каких-либо объектов. Объекты, из кото-
рых состоит множество
, называются его элементами.
Пусть множество М, является множеством всех множеств, каждое из которых не
является элементом самого себя. Зададим вопрос: является ли множество М элемен-
том самого себя? Если ответ положительный (т.е. М является элементом самого себя),
то множество М не является элементом самого себя (т.к. М это множество всех мно-
жеств, каждое из которых не является элементом самого себя). Если ответ отрица-
тельный (т.е. М не является элементом самого себя), то (т.к. М это множество всех
множеств не являющихся элементом самого себя) множество М должно быть элемен-
том самого себя.
Были обнаружены и многие другие парадоксы. Так как логические
рассуждения
составляют скелет математики, а в её основе лежит понятие множества, то наличие
таких парадоксов побудили математиков к поиску решения проблемы обоснования
математики. Основным итогом этих поисков является становление математической ло-
гики как самостоятельной научной дисциплины, а принципиальным достижением ма-
тематической логики – разработку аксиоматического метода, который характеризует-
ся следующими свойствами:
1
1
.
.
Явная формулировка исходных положений (аксиом) той или иной теории.
