ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
27
получим
а
1
=р
2
а
2
, где р
2
наименьший простой делитель числа
а
1
>1. Т.к. числа а
1
, а
2
,… убывают, то на некотором r шаге будем
иметь
a
r -1
=p
r
a
r
где a
r
=1 т.е. a
r -1
=p
r
.
Перемножая все полученные таким образом равенства по-
сле сокращения на а
1
, а
2
,…a
r -1
получим разложение числа n на
простые сомножители
n= p
1
p
2
…
p
r
Пусть
n>1 и оно представлено в виде разложения на про-
стые сомножители
n= p
1
p
2
…
p
r
Среди чисел p
1
,…,p
r
могут быть одинаковые. Пусть p
1
,…,p
к
различные из чисел p
1
,…,p
r
(r>k), a
α
1
,…,
α
k
кратности с которы-
ми они входят в исходное разложение. Тогда это разложение
можно записать в виде:
⎩
⎨
⎧
−
−
⋅⋅⋅=
числацелые
простоеp
pppn
i
i
k
k
, ...
2
2
1
1
α
ααα
,
который называется
каноническим разложением числа n
на простые множители.
Пример
234
11532261360 ⋅⋅⋅
=
.
Согласно теореме Евклида: Множество простых чисел бес-
конечно.
Для того, чтобы составить таблицу всех простых чисел
можно использовать метод, называемый решетом Эратосфена
(древне - греческий математик).
Напишем одно за другим числа 2,3,…
N
Число 2 является простым оставляем и зачеркиваем после
него все числа кратные 2 т.е. все четные числа. Следующим за
числом 2 является число 3, которое является простым. Оставля-
ем 3, зачеркиваем все числа кратные 3. Продолжая этот процесс,
находим все простые числа, не превышающие заданного числа
N.
Например,
N=40: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Простые числа: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37
Построение в настоящие время таблицы простых чисел по-
казывают, что с ростом их величин они встречаются все реже и
28
реже. Например, в первой сотне чисел (
N=100) их 25, во второй -
21, третьей 16 и т.д. В первой 1000 их 168, во второй тысяче -
135, в третьей - 120 и т.д. Особый класс простых чисел состав-
ляют числа вида 21
n
−
. Такие числа называют простыми чис-
лами Мерсенна и они являются наибольшими по своему разме-
ру среди других известных простых чисел. Во времена Эйлера
наибольшим простым числом было пятое число Мерсенна 2
31
-1.
Через сто лет было найдено шестое число Мерсенна 2
61
-1. В
1992 найдено самое большое известное число -32 число Мерсен-
на. Его запись содержит 227 832 цифры и требует около ста
страниц текста.
Простые числа распределены в натуральном ряде чисел
очень нерегулярно. Согласно основной теоремы арифметики,
простые числа являются теми простейшими объектами, из кото-
рых с помощью умножения строятся все натуральные числа
большой единицы
. Поэтому вопросы, связанные с распределе-
нием простых чисел являются важнейшими в теории чисел. Для
того была введена функция П(х) выражающая число простых
чисел
≤
х. Известно, например, что П(1)=0, П(2)=1, П(10)=4,
П(40)=12… . Однако для функции П(х) неизвестно никакой про-
стой формулы, позволила бы изучать её поведение. Существуют
определенные оценки для функции П(х) (оценки Чебышева, тео-
ремы об асимптотическом законе распределении простых чисел
Римана и другие). По мере необходимости в дальнейшем мы бу-
дем использовать эти результаты. Наряду с этим в теории чисел
уделяется большое внимание решению аддитивных задач, свя-
занных с возможностью предоставления натуральных чисел в
виде суммы простых чисел. Наиболее известная
из таких задач -
проблема Гольдбаха (1742 г.). Гольдбах в письме к Л. Эйлеру
высказал предположение, что всякое нечётное число большее 6
можно представить в виде суммы трех простых чисел. Эйлер в
свою очередь высказал более сильную гипотезу: всякое число,
начинающееся с 4 можно представить в виде суммы двух про-
стых чисел. Первым результатом, связанным
с этой проблемой
была теорема о том, что существует постоянная
к такая, что ка-
ждое натуральное число большее единицы есть сумма не более
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- …
- следующая ›
- последняя »
