Математические основы криптологии. Галуев Г.А. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТТИ ЮФУ | Таганрог

Составители: 

Рубрика: 

37
Лемма: Если неприводимый многочлен f(x) делит произведение
многочленов
)(),...,(
1
xfxf
n
, то по крайней мере один из со-
множителей
) ,...,1), (( nixf
i
=
делится на f(x).
Используя эту лемму, можно сделать следующее фунда-
ментальное утверждение:
Теорема. (об однозначном разложении на множители)
Каждый многочлен положительной степени f(x) может
быть представлен в виде произведения
K
l
k
l
fxfaxf ⋅⋅⋅= ...)()(
!
1
,
где
а старший коэффициент f(x); )(),...,(
1
xfxf
k
- различ-
ные нормированные неприводимые многочлены;
k
ll ,...,
1
- нату-
ральные числа
1,2,….
При этом такое разложение называют
каноническим раз-
ложением многочлена.
Наиболее интересные и важные свойства объектов (чисел,
многочленов и др.) теории чисел, которые потребуются в даль-
нейшим, получены и описаны, в частности, в рамках теории ко-
нечно поля. Поэтому в дальнейшем рассмотрим элементы тео-
рии конечного поля.
38
4. Элементы конечного поля. Основные понятия и
свойства алгебраических структур.
Группы
Известны две операции на множестве Z целых чисел: сло-
жение и умножение. Обобщим понятие операции на произ-
вольное множество. Пусть
S - некоторое множество и пусть
SS ⋅ обозначает множество упорядоченных пар (s,t) , где Ss ∈ и
St ∈ . Тогда произвольное отображение из SS
⋅
в S будем назы-
вать
операцией (бинарной) на множестве S. В этом определе-
нии потребуем, чтобы образ каждой пары, был непременно эле-
ментом множества
S. Это так называемое свойство замкнуто-
сти операции. Под алгебраической структурой или системой
будем понимать некоторое множество
S с одной или нескольки-
ми операциями на нем. Одной из таких алгебраических структур
с одной операцией является
группа.
Определение. Группой (G,*) (в дальнейшем группу будем
называть просто
G) называется некоторое множество G c бинар-
ной операцией
* на нем, для которых выполняются следующие
условия:
1. Операция
* ассоциативна, т.е. для любых а,b,c,
∈
G
справедливо
a*(b*c)=(a*b)*с.
2. В
G существует единичный элемент (или единица) е та-
кой, что для любого
а
∈
G
а*е = e*a = a
3. Для каждого а
∈
G существует обратный элемент a
-1
∈
G,
такой что
a * a
-1
= a
-1
* a = e
Если группа
G удовлетворяет также следующему условию:
для любых
а,b
∈
G справедливо
а*b=b*а ,
то она называется коммутативной или абелевой группой.
Единичный
e и обратный а
-1
элемент группы G для каждо-
го данного элемента
а
∈
G определяется однозначно указанными
выше условиями. Для всех элементов
а,b
∈
G имеет место ра-
венство
(a*b)
-1
= b
-1
*a
-1
. Для групповой операции * может быть

Страницы