Молекулярная физика и термодинамика. Головин Ю.М - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

где
n
p – упругое напряжение в стержне,
ε=
∆
l
l
– относительное удлинение.
Для столба газа напряжение
n
p заменим добавочным (избыточным) давлением
p
∆
, вызывающим сжатие газа, а от-
носительную линейную деформацию
l
l∆
– относительной объёмной деформацией
V
V∆
, так как столб газа сжимается
только вдоль своей длины (вдоль направления распространения волны). Таким образом, для газа имеем
V
V
pE
n
∆
−=
. (4.2)
По сравнению с твёрдыми телами газы обладают гораздо худшей теплопроводностью, и поэтому участки сжатия
(где происходит нагрев) и участки разрежения (охлаждение) не успевают обменяться теплом, что приводит к увеличению
упругости газа. Сжатие и разряжение происходит адиабатически, т.е. без обмена теплом. Найдем значение Е по формуле
(4.2) при адиабатическом сжатии газа. Запишем сначала (4.2) так:
V
p
VE
∆
∆
−=
. (4.3)
Заменим приращение дифференциалами, получим
dV
dp
VE −=
. (4.4)
Производную
dV
dp
вычислим из уравнения Пуассона для адиабатического процесса
const=
γ
pV , (4.5)
где
V
p
c
c
=γ
– отношение теплоёмкости при постоянном давлении к теплоёмкости при постоянном объёме.
Дифференцируя уравнение Пуассона по V, получим
0
1
=γ+
−γγ
VpV
dV
dp
,
отсюда
V
p
dV
dp
γ
−=
. (4.6)
Подставляя это выражение в (4.4), получим
pE
γ
=
.
Теперь формула (4.1) для скорости звука примет вид:
ρ
γ=
p
U
. (4.7)
Хотя в формуле присутствует давление
p
, тем не менее скорость звука не зависит от давления газа. Действительно,
подставляя в (4.7) вместо
p
выражение, полученное из уравнения состояния идеального газа
RTpV =
(где V – объём
одного моля газа, T – термодинамическая температура), и учитывая, что MV
=
ρ
есть молярная масса, приходим к сле-
дующей формуле для скорости звука в газе:
M
RT
U γ=
, (4.8)
отсюда
2
U
RT
M
=γ . (4.9)
Из соотношения (4.9) видно, что скорость звука не зависит от давления газа, но пропорциональна
(величины
γ
,
R
,
µ
– постоянные для данного газа).
При условии, что плотность воздуха не слишком велика, скорость (фазовая скорость U) звуковых волн практически
не зависит от частоты (отсутствие дисперсии). Если представить себе, что в некоторой точке пространства давление ме-
няется во времени по закону
tpp ω= sin
0
, (4.10)
то на расстоянии X, в направлении распространения волны, такие же колебания будут наблюдаться по истечении времени
U
X
=τ
, т.е.
−ω=
U
X
tpp sin
0
. (4.11)
Выражение (4.12) отражает характерное свойство волны, что фаза изменения давления линейно возрастает в направлении
распространения волны

Страницы