Исчисления высказываний классической логики. Гуров С.И. - 107 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

N
ϕ
T
Γ ⊆ |A| ∪ |B|
T
∆ ⊆ |A|
\
Γ ∩
\
∆ =
\
{Γ ∪ ∆} ⊆
¡
|A| ∪ |B|
¢
∩ |A| = |A| ∩ |B| ⊆ |B| ,
| Γ, ∆ ` B | =
Rl(N) ¤
A
` A
N
M 6= ∅ ϕ
M
N
N
`
A = x N ¬x
∅ A
¤
A B N
A ' B ⇒ A ∼ B
A ` B B ` A
|A| ⊆ |B| |B| ⊆ |A|
|A| = |B| A ∼ B ¤
N
1. Èñ÷èñëåíèå N íàòóðàëüíîãî òèïà                                         107


 òåõ æå îáîçíà÷åíèÿõ (îïóñêàÿ ëèøü äëÿ êðàòêîñòè óêàçàíèå íà ϕ)
                                      T                 T
ïî èíäóêòèâíîìó ïðåäïîëîæåíèþ èìååì     Γ ⊆ |A| ∪ |B| è   ∆ ⊆ |A|.
Íî òîãäà
  \        \         \               ¡            ¢
      Γ∩       ∆ =       {Γ ∪ ∆} ⊆       |A| ∪ |B| ∩ |A| = |A| ∩ |B| ⊆ |B| ,

÷òî îçíà÷àåò | Γ, ∆ ` B | = 1 â äàííîé èíòåðïðåòàöèè, à â ñèëó ïðî-
èçâîëüíîñòè ïîñëåäíåé  òîæäåñòâåííóþ èñòèííîñòü ðàññìàòðèâàåìîé
ñåêâåíöèè.
   Îñòàëüíûå ïðàâèëà èç Rl(N ) ðàññìàòðèâàþòñÿ àíàëîãè÷íî.       ¤


Çàìå÷àíèå. Ïîñêîëüêó èñòèííîñòü è âûâîäèìîñòü ôîðìóëû A ïî îïðå-
äåëåíèþ ñîâïàäàåò ñ èñòèííîñòüþ è âûâîäèìîñòüþ ñåêâåíöèè ` A, â
ÈÑ N âñå âûâîäèìûå ôîðìóëû òîæäåñòâåííî èñòèííû (èìåþò îöåíêó
M 6= ∅ â èíòåðïðåòàöèè ϕM ).

Ñëåäñòâèå 1.         Èñ÷èñëåíèå N íåïðîòèâîðå÷èâî.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîêàæåì, ÷òî â ÈÑ N íåâûâîäèìà ïóñòàÿ ñåêâåí-
öèÿ ` . Äåéñòâèòåëüíî, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ïî ïðàâèëó DS îêàçûâàåòñÿ
âûâîäèìîé ëþáàÿ ôîðìóëà. Íî îöåíêîé ôîðìóëû A = x N ¬x â ëþáîé
èíòåðïðåòàöèè áóäåò ∅. Ïîýòîìó A  òîæäåñòâåííî ëîæíàÿ ôîðìóëà,
è â ñèëó êîððåêòíîñòè, îíà íåâûâîäèìà.                            ¤


Ñëåäñòâèå 2. Äëÿ ëþáûõ ôîðìóë A è B ÈÑ N ñïðàâåäëèâî
A ' B ⇒ A ∼ B.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî óñëîâèþ, ñåêâåíöèè A ` B è B ` A äîêàçóåìû.
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â ëþáîé èíòåðïðåòàöèè èìååì |A| ⊆ |B| è |B| ⊆ |A|,
ò.å. |A| = |B| èëè A ∼ B .                                        ¤



Ñåìàíòè÷åñêàÿ ïîëíîòà è ðàçðåøèìîñòü.         Èñïîëüçóÿ äåäóêòèâ-
íûå ýêâèâàëåíòíîñòè ëåììû 3.3 âîçìîæíîñòü ïðèâåäåíèÿ ëþáîé ëîãè-
÷åñêîé ôîðìóëû ê ÊÍÔ (ñì. ï. 3.1 ãëàâû 1) óáåæäàåìñÿ, ÷òî ñïðàâåä-
ëèâà ñëåäóþùàÿ

Ëåììà 3.5. Äëÿ ëþáîé ôîðìóëû ÈÑ N ñóùåñòâóåò äåäóêòèâíî ýê-
âèâàëåíòíàÿ åé ÊÍÔ.

   Áîëå òîãî, ó÷èòûâàÿ òåîðåìó 1.3, óáåæäàåìñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè äëÿ
ãëàâíîé èíòåðïðåòàöèè ñëåäóþùåé âàæíîé ëåììû.

Страницы